Frédéric LEON : pour des élèves de 2^nde

Devant la difficulté des élèves à manipuler les fractions, il propose de simplifier les règles de calcul !

L'addition se notera $\oplus$ et la règle sera la suivante :

$\dfrac{a}{b} \oplus \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d}$

Exemples :

• $\dfrac{3}{4} \oplus \dfrac{6}{7} = \dfrac{3 + 6}{4 + 7} = \dfrac{9}{11}$
• $3 \oplus \dfrac{4}{5} = \dfrac{3}{1} \oplus \dfrac{4}{5} = \dfrac{3 + 4}{1 + 5} = \dfrac{7}{6}$

La simplification pourra se faire de la façon suivante :

$\dfrac{26}{65} = \dfrac{2\fbox{6}}{\fbox{6}5} = \dfrac25$

1. L'addition : Évidemment cette méthode est fausse ! Mais vous pouvez démontrer que :

   si $\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{c}{d}$ alors $\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a}{b} \oplus \dfrac{c}{d} \lt \dfrac{c}{d}$

   1. Vérifier la propriété sur quelques exemples.
   2. Démonter que $\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow bc - ad \gt 0$
   3. Démontrer que $\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a + c}{b + d} \Leftrightarrow bc - ad \gt 0$
   4. Démontrer que $\dfrac{a + c}{b + d} \lt \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow bc - ad \gt 0$
   5. Rédiger le raisonnement permettant de démontrer que si $\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{c}{d}$ alors $\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a}{b} \oplus \dfrac{c}{d} \lt \dfrac{c}{d}$

2. La simplification : Évidemment cette méthode est fausse ! (même si le résultat est correct...)

   Trouvez d'autres fractions ayant la même particularité.

   On peut écrire les réponses à l'envers !