En 1989, Susan Landau a développé le premier algorithme permettant
de déterminer quels radicaux imbriqués peuvent être simplifiés,
connu aujourd'hui sous le nom d'algorithme de Landau.
En plus de ses contributions techniques, elle s'intéresse à
la place des femmes en sciences et a été reconnue pour son impact
social, recevant notamment le prix pour femmes visionnaires de
l'Institut Anita Borg en 2008.
Pour une liste plus exhaustive de ses travaux et publications, il est recommandé de consulter des bases de données académiques spécialisées ou son profil professionnel sur le site de l'Université Tufts.
Exemple d'application de l'algorithme de Landau
Simplifier l'expression suivante :
$\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}$
Étapes de l'algorithme
- Supposons que cette expression puisse être réécrite sous la forme :
$\sqrt (a) + \sqrt (6)$
pour certains nombres a et b à déterminer.
- En élevant des deux côtés au carré : $\sqrt (a)$ + \sqrt(b)$ 2=a+6+2 \sqrt (ab)$ et en l'égalant à l'expression d'origine :
2. En élevant des deux côtés au carré :
($\sqrt(a) + \sqrt (b) $ 2=a+6+2 $ \sqrt (ab) et en l'égalant à l'expression d'origine :
a +6+2
$\sqrt (a) 6 = 3 + 2 $\sqrt (2)
3. En identifiant les parties rationnelles et irrationnelles :
a + b=3
2\sqrt $ (ab) = (2) $\sqrt(2)
Donc, ab = 2.
4. Résolvons le système :
• a et b sont solutions de l'équation quadratique :
x2-3x + 2 =0
• Factoring :
(x - 1) (x-2) = 0
• Donc, a = 1 et b = 2.
5. Ainsi,
\sqrt (3) + 2 \sqrt(2) = $\sqrt(2) + v.
- • Factoring :
(x - 1) (x - 2) = 0
• Donc, a = 1 et b = 2.
5.
- Ainsi,
$\sqrt (3)$ + 2 $\sqrt (2) = $\sqrt (2)$ + \sqrt (1)$
ce qui donne :
-
$(3) $/sqrt + 2 $\sqrt 2 = 1 + $\sqrt 2 $
- Conclusion
L'algorithme de Landau permet de vérifier et simplifier les radicaux imbriqués en exprimant la racine sous la forme d'une somme de racines plus simples et en résolvant un système d'équations.
Cet algorithme est utile en algèbre, en calcul symbolique et dans certains systèmes informatiques qui manipulent des expressions mathématiques.
La simplification pourra se faire de
la façon suivante :
$\dfrac{26}{65} = \dfrac{2\fbox{6}}{\fbox{6}5} = \dfrac25$