Exercices : Calculs numériques

• Unités de longueur
• Dilutions

Unités de longueur

1. 1. Le diamètre d'un cheveu est en moyenne de $70\,\microm$.

      • Donner sa taille en mm utilisant une puissance de $10$.
      • Donner sa taille en cm sans utiliser les puissances de $10$.
      • Remarque : le diamètre d'un cheveu est difficilement visible à l'œil nu, sa vision est facilité par la longueur du cheveux.

   2. Un virus a une taille de $125\,\text{nm}$.

      • Donner sa taille en mm utilisant une puissance de $10$.
      • Donner sa taille en $\microm$ sans utiliser les puissances de $10$.

   3. Masse d'hyphes d'Aspergillus fumigatus

      

      • Avec la précision permise en mesurant à l'écran, déterminer le diamètre de la masse d'hyphes en $\microm$.
      • Donner sa taille en mm sans utiliser les puissances de $10$.
      • L'affirmation « Cette masse a un diamètre de plus d'un million de nanomètres » est-elle vraie ?
   Aide

   

   Lectures

   • Un organisme mesure $\np{23405,6}\,\microm$. Le chiffre des unités est $5$, et l'unité de mesure est le $\microm$ donc il faut placer le $5$ dans la colonne $\microm$.

     Ce même organisme mesure donc $\np{23,4056}\,\text{mm}$ ou bien (en utilisant la ligne (a)) $\np{23,4056}\times 10^{-6}\,\text{m}$.

   • Un organisme mesure $\np{789}\,\text{nm}$. Le chiffre des unités est $9$, et l'unité de mesure est le nm donc il faut placer le $9$ dans la colonne nm.

     Ce même organisme mesure donc $\np{0,789}\,\microm$ ou bien (en utilisant la ligne (b)) $\np{789}\times 10^{-6}\,\text{mm}$.

   • Un organisme mesure $\np{0,369}\,\microm$. Le chiffre des unités est $0$, et l'unité de mesure est le $\microm$ donc il faut placer le $0$ dans la colonne $\microm$.

     Ce même organisme mesure donc $\np{0,0000369}\,\text{cm}$ ou bien (en utilisant la ligne (a)) $\np{0.369}\times 10^{-3}\,\text{mm}$.

   Solution

   1. Cheveux

      • $70\,\microm = 70\times 10^{-3} \,\text{mm}$
      • $70\,\microm = \np{0,0070}\,\text{cm}$

   2. Virus

      • $125\,\text{nm} = 125\times 10^{-6} \,\text{mm}$
      • $125\,\text{nm} = \np{0,125}\,\microm$

   3. Masse d'hyphes d'Aspergillus fumigatus

      • Sur mon écran, $200\,\microm$ correspondent à $3\,\text{cm}$ et le diamètre environ à $21\,\text{cm}$, donc la masse d'hyphes mesure $7 \times 200 = \np{1400}\,\microm$
      • $\np{1400}\,\microm = \np{1,4}\,\text{mm}$
      • $\np{1400}\,\microm = \np{1,4}\times 10^6\,\text{nm}$ soit $\np{1,4}$ millions de nanomètres.

2. 1. Une bactérie Thiomargarita namibiensis a une taille de $150\,\microm$.

      • Donner sa taille en mm sans utiliser de puissance de $10$.
      • Donner sa taille en m en utilisant une puissance de $10$
      • Est-elle visible à l'œil nu ?

   2. Une bactérie Escherichia coli a une taille de $\np{2,5}\,\microm$.

      • Donner sa taille en mm en utilisant une puissance de $10$
      • Donner sa taille en cm en utilisant une puissance de $10$.

   3. La photo représente le phage T4 qui est le prédateur de la bactérie E. Coli.

      

      • Avec la précision permise en mesurant à l'écran, déterminer la longueur de la tête au bas du corps (on ne mesure pas les « jambes ») en nm.
      • Donner sa taille en mm en utilisant une puissance de $10$.
      • Donner sa taille en $\microm$ sans utiliser de puissance de $10$.
   Solution

   1. Thiomargarita namibiensis
      • $150\,\microm = \np{0,150}\,\text{mm}$
      • $150\,\microm = 150 \times 10^{-6}\,\text{mm}$
      • presque visible à l'œil nu : deux fois plus gros que le diamètre d'un cheveux !
   2. Escherichia coli
      • $\np{2,5}\,\microm = \np{2,5}\times 10^{-3}\,\text{mm}$
      • $\np{2,5}\,\microm = \np{2,5}\times 10^{-4}\,\text{cm}$
   3. phage T4
      • Sur mon écran, $50\,\text{nm}$ correspondent à $3\,\text{cm}$ et la taille du virus à $12\,\text{cm}$, donc le virus mesure $4 \times 50 = 200\,\text{nm}$
      • $\np{200}\,\text{nm} = \np{200}\times 10^{-6}\,\text{mm}$
      • $\np{200}\,\text{nm} = \np{0,2}\,\microm$

3. 1. La taille d'un grain de sable est de $\np{0,1}\,\text{cm}$, celle d'un globule rouge est de $\np{0,01}\,\text{mm}$.

      « Donc le globule rouge est $k$ fois plus petit qu'un grain de sable » : remplacer $k$ par une puissance de $10$

   2. Une bactérie a une taille de $130\,\microm$ et un virus a une taille de $13\,\text{nm}$.

      « Donc la bactérie est $k$ fois plus grande que le virus » : remplacer $k$ par une puissance de $10$

   3. La photo représente des bactéries Elizabethkingia anophelis.

      

      • Avec la précision permise en mesurant à l'écran, déterminer la longueur de la bactérie centrale en nm.
      • Donner sa taille en $\microm$ sans utiliser de puissance de $10$.
      • Mises bout à bout, il faut environ (a) $50$ (b) $500$ (c) $\np{5000}$ bactéries pour faire $1\,\text{mm}$.

   Clique ici pour écrire la somme des puissances de trouvées à la dernière question (si la réponse est $10^{-3}$, alors la puissance est $-3$) suivie de la lettre correspondant à la dernière réponse.

Dilutions

1. On veut préparer $450\,\text{ml}$ d'une solution à $2\,\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$ à partir d'une solution mère à $15\,\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$.

   Il faut donc prélever un volume $V_{\text{mère}}$ de solution mère qu'il faudra compléter avec de l'eau déminéralisée pour obtenir $450\,\text{ml}$ de solution fille.

   Rappel : la concentration $C$ d'une solution est le rapport : $C = \ffrac{n}{V}$ avec $C$ la concentration ; $V$ le volume et $n$ le nombre de moles de la solution.

   On peut présenter les données sous forme de tableau :

   $\begin{array}{lcc} & \text{Sol. mère} & \text{Sol. fille} \\\hline C (\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}) & 15 & 2 \\\hline V (\text{ml}) & ? & 450 \\\hline \end{array}$
   Aide

   Attention : un tableau de 4 cases ne représente pas forcément une situation de proportionnalité !!

   Cas 1 : Une même solution, différents prélèvements.

   	Pipette 1	Pipette 2
   nb. moles	$\np{0,02}$	?
   volume (ml)	30	45

   Cas 2 : Une même solution, différents prélèvements.

   	Prélèvement	Fiole
   nb. bactéries	$150$	?
   volume (ml)	$\np{0,05}$	5

   Cas 3 : Une solution mère, une solution fille.

   	Sol. mère	Sol. fille
   concentration ($\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$)	$\np{0,02}$	?
   volume (ml)	30	45

   Cas 1 : le nombre de moles est proportionnel au volume, c'est une situation de proportionnalité : on peut appliquer les «produits en croix» pour déterminer le nombre de moles dans la pipette 2

   Le nombre de moles dans la pipette 2 est : $\ffrac{\np{0,02}\times 45}{30}=\np{0,3}$

   Cas 2 : le nombre de bactéries est proportionnel au volume, c'est une situation de proportionnalité : on peut appliquer les «produits en croix» pour déterminer le nombre de bactéries dans la fiole.

   Le nombre de bactéries dans la fiole est : $\ffrac{150\times 5}{\np{0,05}}=\np{15000}$

   Cas 3 : la concentration n'est pas proportionnelle au volume : on ne peut pas appliquer les «produits en croix»

   La concentration est toujours de $\np{0,02}\,\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$

   Exemple :

   

   Volume initial d'un litre, contenant $16$ moles, donc concentration initiale : $C_i = 16\,\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$.

   On prélève un quart de cette solution : elle contient $4$ moles pour un volume de $25\,\text{cL}$.

   Concentration finale : $C_f = \ffrac{4\,\text{mol}}{\np{0,25}\,\text{L}} = 16\,\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$.

   La concentration n'est pas proportionnelle au volume.

   Solution

   La concentration n'est pas proportionnelle au volume : le tableau ne représente pas une situation de proportionnalité !

   $C = \ffrac{n}V \Leftrightarrow n = C \times V$

   $\begin{align*} & n_{\text{mère}} = n_{\text{fille}} \\ \Leftrightarrow & C_{\text{mère}} \times V_{\text{mère}} = C_{\text{fille}} \times V_{\text{fille}} \\ \Leftrightarrow & 15 \times V_{\text{mère}} = 2 \times 450 \\ \Leftrightarrow & V_{\text{mère}} = \ffrac{2 \times 450}{15} \\ \Leftrightarrow & V_{\text{mère}} = 60\\ \end{align*}$

   Il faut donc prélever $60\,\text{mL}$ de solution et compléter avec $450 - 60 = 390\,\text{mL}$ d'eau déminéralisée.

2. On dispose d'une solution-mère de sel dont la concentration est $\np{0,04}\,\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$.

   On crée une solution fille en prélèvant $15\,\text{mL}$ de cette solution qu'on complète par $35\,\text{mL}$ d'eau déminéralisée.

   Déterminer la concentration de sel dans la solution fille.

   On peut présenter les données sous forme de tableau :

   $\begin{array}{lcc} & \text{Sol. mère} & \text{Sol. fille} \\\hline C (\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}) & \np{0,04} & ? \\\hline V (\text{ml}) & 15 & ? \\\hline \end{array}$
   Solution

   La concentration n'est pas proportionnelle au volume : le tableau ne représente pas une situation de proportionnalité !

   Volume de solution fille : $15 + 35 = 50\,\text{mL}$

   $C = \ffrac{n}V \Leftrightarrow n = C \times V$

   $\begin{align*} & n_{\text{mère}} = n_{\text{fille}} \\ \Leftrightarrow & C_{\text{mère}} \times V_{\text{mère}} = C_{\text{fille}} \times V_{\text{fille}} \\ \Leftrightarrow & \np{0,04} \times 15 = C_{\text{fille}} \times 50 \\ \Leftrightarrow & C_{\text{fille}} = \ffrac{\np{0,04} \times 15}{50} \\ \Leftrightarrow & C_{\text{fille}} = \np{0,012}\\ \end{align*}$

   La concentration en sel dans la solution fille sera de $\np{0,012}\,\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$