Frédéric Léon -- MATHS -- E. Brontë

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Intégration et applications

Introduction : valeur moyenne d'une concentration

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $\intfo0{+\infty}$ par $f(t) = 120 \left( 1 - \e^{-0,3 t}\right)$ qui donne la concentration en microgrammes par cm3 d'une solution marquée par un indicateur radioactif diffusé par une perfusion lente à débit constant dans un organisme

    $t$ représente le temps en minutes écoulé depuis la pose de la perfusion.

    1. Calculer la concentration de l'indicateur radioactif, au bout de $2$ minutes, puis au bout de $8$ minutes.
    2. Calculer la concentration moyenne sur l'intervalle de temps $\intff28$.
    Aide

    Valeur moyenne

    Pour trouver la valeur moyenne de $f$ sur $\intff28$: on cherche un rectangle dont la base soit le segment $[AB]$ (avec $A(2\,; 0)$ et $B(8\,; 0)$) et dont la surface soit égale à celle de l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=8$.

    domaine sous la fonction domaine sous la fonction

    La courbe représente la fonction $f(t) = 120 \left( 1 - \e^{-0,3 t}\right)$ qui est positive sur $\intff28$.

    l'aire du rectangle bleu doit être égale à celle du domaine vert.

    Question : comment calculer l'aire du domaine vert ?

    Aire d'un domaine

    Soit $f$ une fonction positive sur un intervalle $\intff{a}{b}$.

    L'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = a$ et $x= b$ (en vert sur la figure) est l'intégrale de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intff{a}{b}$.

    domaine sous la fonction

    Cette aire se note $\dint_a^b f(x)\,\text{d}x$.

    $\dint_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ avec $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $\intff{a}{b}$.

    Calcul de la valeur moyenne

    L'aire du domaine vert vaut $\dint_a^b f(x)\,\text{d}x$ et celle du rectangle bleu vaut $V_m \times (b - a)$

    on en déduit que $V_m = \dfrac1{b-a} \dint_a^b f(x)\,\text{d}x = \dfrac1{b-a} (F(b) - F(a))$.

    Utilisation d'un logiciel de calcul formel

    avec GeoGebra, dans la fenêtre calcul formel :

    1 f(t):=120*(1 - exp(-0.3*t)) définition de la fonction $f$
    2 Intégrale(f, t) toutes les primitives de $f$
    3 Intégrale(f, t, 2, 8) calcul de $\dint_0^8 f(t)\,\text{d}t$
    4 Numérique(Intégrale(f, t, 2, 8)/(8-2) valeur approchée de la valeur moyenne

    Ne pas oublier
    1. := dans la définition de la fonction ;
    2. écrire TOUS les symboles d'opérations
    3. le séparateur décimal est le point

    avec GeoGebra «classique»

    dans la barre d'adresse du navigateur : geogebra.org/classic on peut utiliser l'outil inspecteur de fonction.

    1. défnir la fonction
    2. puis dans le menu menu outils GGB choisir l'inspecteur de fonction inspecteur de fonction GGB

    3. cliquer sur la courbe et paramétrer l'intervalle.

      inspecteur de fonction GGB

    Solution

    1. au bout de $2$ minutes : $f(2) \approx 54$

      au bout de $8$ minutes : $f(8) \approx 109$

    2. On sait que la valeur moyenne de $f$ sur $\intff28$ est $V_m = \dfrac1{8 - 2}( F(8) - F(2))$

      $f(t) = 120 \left( 1 - \e^{-0,3 t}\right)$ donc $F(t) = 120 \left( t - \dfrac1{-0,3}\e^{-0,3 t}\right) = 120 \left( t + \dfrac1{0,3}\e^{-0,3 t}\right)$

      d'où $V_m = \dfrac16 \left(120 \left( 8 + \dfrac1{0,3}\e^{-0,3 \times 8}\right) - 120 \left( 2 + \dfrac1{0,3}\e^{-0,3 \times 2}\right) \right) \approx 89,5$

Exercices

  1. Soit la fonction $f$ définie sur $\setR$ par $f(x) = (x + 1)^2\,\e^x$.

    1. Vérifier que $F(x) = \left(x^2 + 1\right)\,\e^x$ est une primitive de $f$ sur $\setR$.
    2. On admet que $f$ est positive sur $\intff{-1}0$ ; en déduire une valeur approchée au centième de $\mathscr A$ qui représente l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=0$.
    Aide
    1. Il est plus simple de dériver $F$ que de chercher une primitive de $f$.
    2. L'aire du domaine est le nombre représenté par $\dint_{-1}^0 f(x)\,\text{d}x$
    Solution

    1. $F(x) = \color{red}{\left( x^2 + 1 \right)} \times \color{blue}{\e^{x}}$ donc

      $\begin{align*} F'(x) &= \color{Crimson}{\left( 2x \right)} \times \color{blue}{\e^{x}} + \color{red}{\left( x^2 + 1 \right)} \times \color{RoyalBlue}{\e^{x}}\\ &= \left( 2x + x^2 + 1 \right) \times \e^{x} \\ &= (x + 1)^2\, \e^x\\ &= F(x) \end{align*}$

      Donc $F$ est une primitive de $f$.

    2. $\mathscr A = \dint_{-1}^0 f(x)\,\text{d}x = F(0) - F(-1)$.

      $\mathscr A = 1 - \left( 2\,\e^{-1}\right) \approx 0,26$

      domaine sous la fonction

  2. On décide de mesurer en fonction du temps la quantité de principe actif d'un médicament présent dans le sang d'un groupe de patients en traitement dans un hôpital.

    À l'instant $t$ , exprimé en minutes, on note $q(t )$ la quantité exprimée en milligrammes de ce principe actif, contenue dans le sang d'un patient.

    Pour tout $t$ de $\intff0{1\,440}$ : $q(t) = 3 - 0,002t - 3\e^{-\frac{t}4}$

    Démontrer que la valeur moyenne $V_m$ de la fonction $q$ sur $\intff0{1\,440}$ est : $V_m = \dfrac1{1\,440}\left( 2\,234,4 + 12\e^{-360}\right)$

    Aide
    • on sait que $V_m = \dfrac1{1\,440 - 0} (Q(1\,440) - Q(0))$ avec $Q$ un primitive de $q$.
    • $\e^{-\frac{t}4} = \e^{-\frac14 \times t}$
    Solution
    • $q(t) = 3 - 0,002t - 3\e^{-\frac{t}4}$ donc $Q(t) = 3 t - \dfrac{0,002}2 t^2 - 3 \times \left( \dfrac1{-\frac14}\right) \times \e^{-\frac{t}4} = 3t - 0,001 t^2 + 12 \e^{-\frac{t}4}$
    • $Q(0) = 12$ et $Q(1\,440) = 2\,246,4 + 12\e^{360}$
    • $V_m = \dfrac1{1\,440 - 0}\left( 2\,246,4 + 12\e^{360} - 12 \right) = \dfrac1{1\,440}\left( 2\,234,4 + 12\e^{-360}\right)$

  3. Du thé est mis à infuser dans une tasse placée dans une pièce où la température ambiante, supposée constante, est de 21 °C.

    Dans ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en minutes ; on admet que la température du thé exprimé en degré Celsius donné par la fonction $f$ définie sur $\intfo0{+\infty}$ par $f(t) = 79\e^{-0,05 t} + 21$.

    Calculer la température moyenne du thé (arrondie au degré) pendant les deux premières heures.

    Aide

    «Deux premières heures» signifie qu'on travaille sur l'intervalle $\intff0{??}$.

    Pour calculer la valeur moyenne, il faut d'abord trouver une primitive de $f$.

    Solution

    2 heures = 120 minutes.

    $V_m = \dfrac1{120 - 0} \dint_0^{120} f(t)\,\text{d}t = \dfrac1{120} (F(120 - F(0))$

    $f(t) = 79\e^{-0,05 t} + 21$ donc $F(t) = 79 \times \dfrac1{-0,05} \e^{-0,05 t} + 21 t = - 1\,580 \e^{-0,05 t} + 21 t$

    $F(0) = - 1\,580$ et $F(120) = - 1\,580 \e^{-6} + 2\,520$ ; donc $V_m = \dfrac1{120} \left( - 1\,580 \e^{-6} + 2\,520 - (-1\,580) \right) \approx 34$.

    La température moyenne du thé sur les deux premières heures est d'environ 34 °C.

  4. Dans une usine, on se propose de tester un nouveau modèle de hotte aspirante pour les laboratoires. Avant de lancer la fabrication en série, on a réalisé l'expérience suivante avec un prototype : dans un local clos de volume 500 m3, équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (CO2) à débit constant.

    Dans ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en minutes.

    À l'instant $t = 0$, la hotte est mise en marche. Les mesures réalisées permettent d'admettre qu'au bout de $t$ minutes de fonctionnement de la hotte, avec $0 \leqslant t \leqslant 15$, le volume de dioxyde de carbone, exprimé en m3, contenu dans le local est $f(t)$ où $f$ est la fonction définie par :

    $f(t) = (4t + 1)\,\e^{-0,5 t}$

    1. Démontrer que la fonction $F$ définie sur $\intff0{15}$ par $F(t) = (-18 - 8t)\,\e^{-0,5 t}$ est une primitive de $f$ sur $\intff0{15}$.

    2. En déduire le volume moyen $V_m$ de dioxyde de carbone présent dans le local pendant les 11 premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.

      Donner la valeur exacte de $V_m$ puis la valeur approchée de $V_m$ arrondie à $10^{-1}$.

    Aide
    1. $f$ est un produit : il est plus simple de dériver $F$...
    2. $V_m = \dfrac1{11 - 0} \dint_0^{11} f(t)\,\text{d}t$
    Solution

    1. $F(t) = \color{red}{(-18 - 8t)}\,\color{blue}{\e^{-0,5 t}}$

      $\begin{align*} F'(t) &= \color{Crimson}{-8} \,\color{blue}{\e^{-0,5 t}} + \color{red}{(-18 - 8t)} \times \color{RoyalBlue}{(-0,5)\e^{-0,5 t}}\\ &= \left( -8 + 9 + 4 t\right)\,\e^{-0,5 t}\\ &= \left( 1 + 4 t\right)\,\e^{-0,5 t}\\ &= f(t) \end{align*}$

      donc $F$ est bien une primitive de $f$.

    2.  

      $\begin{align*} V_m &= \dfrac1{11 - 0} \dint_0^{11} f(t)\,\text{d}t\\ &= \dfrac1{11}(F(11) - F(0))\\ &= \dfrac1{11} (-106 \e^{-5,5} - (-18))\\ &= \dfrac1{11} (-106 \e^{-5,5} +18)\\ &\approx 1,6 \end{align*}$

      Pendant les 11 premières minutes, le volume moyen de dioxyde de carbone était de 1,6 m3.

Sources

Certains exercices de ce chapitre sont adaptés de sujets de BTS groupement D. On peut les trouver sur le site de l' A.P.M.E.P.