Primitives d'une fonction

$\begin{array}{llc} \mathbf{\text{Fonction}} & \mathbf{\text{ Fonction dérivée}} & \\\hline \text{affine} : f(x) = mx + p & f'(x) = m & (d1) \\\hline \text{carrée} : f(x) = x^2 & f'(x) = 2x & (d2) \\\hline \text{puissance} : f(x) = x^n (\text{avec } n \in \setZ ) & f'(x) = n \times x^{n-1} & (d3) \\\hline \text{inverse} : f(x) = \dfrac1x & f'(x) = - \dfrac1{x^2} & (d4) \\\hline \text{racine carrée} : f(x) = \sqrt{x} & f'(x) = - \dfrac1{2 \sqrt{x}} & (d5) \\\hline \text{exponentielle} : f(x) = \e^{x} & f'(x) = \e^{x} & (d6) \\\hline \text{logarithme} : f(x) = \ln{x} & f'(x) = \dfrac1x & (d7) \\\hline \end{array}$

$\begin{array}{llc} \mathbf{\text{Opération}} & \mathbf{\text{Fonction dérivée}} & \\\hline \text{somme }: f(x) = u(x) + v(x) & f'(x) = u'(x) + v'(x) & (o1) \\\hline \text{produit par un réel } k : f(x) = k \times u(x) & f'(x) = k \times u'(x) & (o2) \\\hline \text{produit de deux fonctions }: f(x) = u(x) \times v(x) & f'(x) = u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) & (o3) \\\hline \text{quotient de deux fonctions }: f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} & f'(x) = \dfrac{u'(x) \times v(x) - u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2} & (o4) \\\hline \text{puissance} : f(x) = (u(x))^n & f'(x) = n \times u'(x) \times (u(x))^{n-1} & (o5) \\\hline \text{exponentielle} : f(x) = \e^{u(x)} & f'(x) = u'(x) \times \e^{u(x)} & (o6) \\\hline \text{logarithme} : f(x) = \ln{u(x)} & f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} & (o7) \\\hline \end{array}$

1. Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes en détaillant les calculs à la main, puis comparer avec les résultats donnés par un logiciel de calcul formel.

   • $f(x) = x^4$ définie sur $\setR$
   • $g(t) = \dfrac12 t^2 + 3,5 t - 0,2$ définie sur $\setR$
   • $h(t) = \dfrac{t + 3}{1 + \e^t}$ définie sur $\setR$
   • $q(x) = 3 \e^{0,3 - 0,25 x}$ définie sur $\setR$
   Aide

   • $f$ de la forme $x^n$
   • $g$ est somme de fonctions : on dérive terme à terme
   • $h$ est de la forme $\dfrac{u(t)}{v(t)}$
   • $q$ est le la forme $\e^{u(x)}$

   • avec GeoGebra, dans la fenêtre calcul formel :

     1	f(x):=x^4
     2	f'(x)

     Ne pas oublier
     1. := dans la définition de la fonction ;
     2. écrire TOUS les symboles d'opérations
     3. le séparateur décimal est le point

   Solution : fonction $f$

   $f'(x) = 4x^3$

   GeoGebra : $\ggb{f'(x) = 4 x^3}$

   fonction $g$

   $g'(t) = t + 3,5$

   GeoGebra : $\ggb{g'(t) = \dfrac15 (5t + 3)}$

   fonction $h$

   $h$ est la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $\color{red}{u(t) = t + 3}$ et $\color{blue}{v(t)=1 + \e^t}$

   donc $\color{Crimson}{u'(t) = 1}$ et $\color{RoyalBlue}{v'(t) = \e^t}$

   $h'(t) = \dfrac{ \color{Crimson}{1} \times (\color{blue}{1 + \e^t}) - (\color{red}{t + 3}) \times \color{RoyalBlue}{\e^t} } {\left( \color{blue}{1 + \e^t }\right)^2 }$

   $h'(t) = \dfrac{1 - 2\e^t -t \e^t}{\left(1 + \e^t \right)^2}$

   GeoGebra : $\ggb{\dfrac{-2\e^t - t \e^t + 1} { 2 \e^t + \left(\e^t \right)^2 + 1} }$

   fonction $q$

   $q$ est de la forme $\e^u(x)$, avec $\color{red}{u(x)=0,3 - 0,25x}$ ; donc $\color{Crimson}{u'(x) = - 0,25}$.

   $q'(x) = 3 \times \color{Crimson}{-0,25}\,\e^{\color{red}{0,3 - 0,25x}} = -0,75\,\e^{0,3 - 0,25x}$

   GeoGebra : $\ggb{-\dfrac34 \e^{-\frac14 x + \frac3{10}}}$

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse demandé.

   • $f(x) = x^2\, \e^{x + 1}$, au point d'abscisse $(-2)$
   • $g(x) = \dfrac{\ln(4x - 1)}x$, au point d'abscisse $1$
   • $h(t) = \dfrac{10}{4\e^{-0,1 t+1}+2}$, au point d'abscisse $10$
   • $q(t) = \left( 1 + \ln(0,25 t)\right)^3 $, au point d'abscisse $4$
   Aide

   • $f$ est la forme $u \times v$, avec $u(x) = x^2$ et $v(x) = \e^{x + 1}$
   • $g$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x) = \ln(4x - 1)$ et $v(x) = x$
   • $h$ est de la forme $10 \times \dfrac1v$ avec $v(t) = 4\e^{-0,1 t+1}+2$
   • $q$ est de la forme $u^n$ avec $u(t) = 1 + \ln(0,25 t)$
   Solution : fonction $f$

   fonction $f$

   $\color{red}{u(x) = x^2}$ donc $\color{Crimson}{u'(x) = 2x}$

   $\color{blue}{v(x) = \e^{x + 1}}$ donc $\color{RoyalBlue}{v'(x) = \e^{x + 1}}$

   $f'(x) = \color{Crimson}{u'(x) = 2x} \times \color{blue}{v(x) = \e^{x + 1}} + \color{red}{u(x) = x^2} \times \color{RoyalBlue}{v'(x) = \e^{x + 1}} = \left( x^2 + 2x \right)\e^{x + 1}$

   équation de la tangente :

   $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ ; pour $a = -2$ : $y = 0 \times (x - (-2)) + 4 \e^3 = 4 \e^3$

   fonction $g$

   fonction $g$

   $\color{red}{u(x) = \ln(4x - 1)}$ donc $\color{Crimson}{u'(x) = \dfrac4{4x - 1}}$

   $\color{blue}{v(x) = x}$ donc $\color{RoyalBlue}{v'(x) = 1}$

   $g'(x) = \dfrac{\color{Crimson}{\dfrac4{4x - 1}} \times \color{blue}x - \color{red}{\ln(4x - 1)} \times \color{RoyalBlue}1} {(\color{blue}x)^2} = \dfrac1{x^2}\left( \dfrac{4x}{4x -1} - \ln(4x -1)\right)$

   équation de la tangente :

   $y = \left( \dfrac43 - \ln 3\right)(x - 1) + \ln3 = \left( \dfrac43 - \ln 3\right)x - \dfrac43 + 2\ln 3$

   fonction $h$

   fonction $h$

   $\color{red}{v(t) = 4\e^{-0,1 t+1}+2}$, donc $\color{Crimson}{v'(t) = 4 \times (-0,1) \e^{-0,1 t+1}}$

   $h'(t) = 10\times \dfrac{- \color{Crimson}{4 \times (-0,1) \e^{-0,1 t+1}}} {\left( \color{red}{4\e^{-0,1 t+1}+2}\right)^2} = \dfrac{4 \e^{-0,1 t+1}} {\left( 4\e^{-0,1 t+1}+2\right)^2}$

   équation de la tangente :

   $ y = \dfrac{4 \e^{-0,1 \times 10 +1}} {\left( \color{red}{4\e^{-0,1 \times 10 +1}+2}\right)^2} ( x - 10) + \dfrac{10}{4 \e^{-0,1 \times 10 + 1} + 2} = \dfrac19 x + \dfrac59$

   fonction $q$

   fonction $q$

   $\color{red}{u(t) = 1 + \ln(0,25 t)}$, donc $\color{Crimson}{u'(t) = \dfrac{0,25}{0,25 t} = \dfrac1t}$

   $q'(t) = 3 \times \color{Crimson}{\dfrac1t} \times \left(\color{red}{ 1 + \ln(0,25 t)}\right)^2$

   équation de la tangente :

   $y = 3 \times \dfrac14 \left( 1 + \ln(0,25 \times 4)\right)^2 (x - 4) + \left( \ln(0,25 \times 4) + 1\right)^3$

   $y = \dfrac34 (x - 4) + 1 = \dfrac34x - 2$

3. 1. Déterminer les variations de la fonction sur l'intervalle spécifié ;
   2. Donner la limite des fonctions en $+\infty$ ;
   3. Construire le tableau de variations des fonctions suivantes ;
   4. Vérifier que les résultats sont en adéquation avec la représentation graphique !

   • $f(t) = 10 \e^{-0,05 t} + 20$ définie sur $\intfo0{+\infty}$
   • $g(t) = \dfrac{200}{1 + 5\e^{-0,04 t}}$ définie sur $\intfo0{+\infty}$
   • $h(x) = 250(x - 5)\e^{-\frac14 x}$ définie sur $\intfo6{+\infty}$
   Aide

   • pour tout $x$ réel, $\e^x > 0$
   • $x \mapsto \e^{u(x)}$ a pour dérivée $t \mapsto u'(x) \e^{u(x)}$
   • si $\lim\limits_{x \to + \infty}f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to + \infty} \e^{u(x)} = 0$ ; alors $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x) \times \e^{u(x)} = 0$
   Solution : fonction $f$

   fonction $f$

   fonction dérivée / signe la dérivée

   $f'(t) = 10 \times (-0,05) \e^{-0,05 t} = -0,5 \e^{-0,05 t}$

   pour tout $t \in \intfo0{+\infty} : \e^{-0,05 t} > 0$ ; donc pour tout $t \in \intfo0{+\infty} : f'(t) \lt 0$

   la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\intfo0{+\infty}$

   limite en $+\infty$

   $\lim\limits_{t \to + \infty} -0,05 t = \color{red}{-\infty}$ ; donc $\lim\limits_{t \to + \infty} \e^{-0,05 t}$ est de la forme «$\e^{\color{red}{-\infty}}$» ; d'où $\lim\limits_{t \to + \infty} \e^{-0,05 t} = \color{blue}{0}$

   $\lim\limits_{t \to + \infty} f(t)$ de la forme «$10 \times \color{blue}0 + 20$» donc $\lim\limits_{t \to + \infty} f(t) = 20$

   tableau de variations

   $\begin{array}{|l|rcl|} \hline t & 0 & & +\infty \\\hline \text{signe de } f'(t) & & - & \\\hline & 30 & & \\ \text{variations de } f & & \searrow & \\ & & & 20\\\hline \end{array}$

   fonction $g$

   fonction $g$

   fonction dérivée / signe la dérivée

   $g'(t) = 200 \times \dfrac{- \left(5 \times (-0,04) \e^{-0,04 t}\right)} {\left( 1 + 5 \e^{-0,04 t}\right)^2} = \dfrac{40 \e^{-0,04 t}} {\left( 1 + 5 \e^{-0,04 t}\right)^2}$

   pour tout $t \in \intfo0{+\infty} : \e^{-0,04 t} >0$ ; donc pour tout $t \in \intfo0{+\infty} : g'(t) > 0$

   la fonction $g$ est strictement croissante sur $\intfo0{+\infty}$

   limite en $+\infty$

   $\lim\limits_{t \to + \infty} -0,04 t = \color{red}{-\infty}$ ; donc $\lim\limits_{t \to + \infty} \e^{-0,04 t}$ est de la forme «$\e^{\color{red}{-\infty}}$» ; d'où $\lim\limits_{t \to + \infty} \e^{-0,04 t} = \color{blue}{0}$

   $\lim\limits_{t \to + \infty} g(t)$ de la forme «$\dfrac{200}{1 + 5 \times \color{blue}0} $» donc $\lim\limits_{t \to + \infty} g(t) = 200$

   tableau de variations

   $\begin{array}{|l|rcl|} \hline t & 0 & & +\infty \\\hline \text{signe de } g'(t) & & + & \\\hline & & & 200\\ \text{variations de } g & & \nearrow & \\ & \approx 33 & & \\\hline \end{array}$

   fonction $h$

   fonction $h$

   fonction dérivée / signe la dérivée

   $\begin{align*} h'(x) &= 250 \left( 1 \times \e^{-\frac14 x} + (x - 5) \times \left( - \dfrac14\right)\e^{-\frac14 x} \right) \\ & = 250 \left(-\dfrac14 x + \dfrac94\right) \e^{-\frac14 x}\\ &= 62,5 (9 - x) \e^{-\frac14 x}\\ \end{align*}$

   pour tout $x \in \setR$, $\e^{-\frac14 x} > 0$, donc $h'(x)$ est du signe de $(9 - x)$ : positif sur $\intff69$

   limite en $+\infty$

   $\lim\limits_{x \to + \infty} -\dfrac14 x = \color{red}{-\infty}$ ; donc $\lim\limits_{x \to + \infty} \e^{-\frac14 x}$ est de la forme «$\e^{\color{red}{-\infty}}$» ; d'où $\lim\limits_{x \to + \infty} \e^{-\frac 14 x} = \color{blue}{0}$

   $\lim\limits_{x \to + \infty} h(t)$ de la forme «$f(x) \times \e^{u(x)}$» donc $\lim\limits_{t \to + \infty} q(t) = \lim\limits_{t \to + \infty} \e^{-\frac14 t} = 0$

   tableau de variations

   $\begin{array}{|l|rcccl|} \hline x & 6 & & 9 & & +\infty \\\hline \text{signe de } h'(t) & & + & 0 & - & \\\hline & & & \approx 105,4 & & \\ \text{variations de } h & & \nearrow & & \searrow & \\ & \approx 55,7 & & & & 0 \\\hline \end{array}$

• Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$, si $F$ est dérivable sur $I$ et que $F' = f$.
• Si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur un intervalle $I$, alors toutes les fonctions définies par $x \mapsto F(x) + k$, avec $k$ un réel, sont des primitive de $f$.
• Parmi toutes les primitives de $f$, il en existe une seule prenant la valeur $y_0$ pour une valeur de $x_0$ donnée.
• Si $F$ est une primitive de $f$, alors pour tout $k$ réel non nul, $k \times F$ est une primitive de $k \times f$

Exemples

• $F(x) = 3 x^2 + 5$ est définie sur $\setR$ et a pour dérivée $F'(x) = 6x$ ; donc $F$ est une primitive de $f(x) = 6x$.
• La fonction $G(x) = 3x^2 + 10$ est aussi une primitive de $f$, car $G(x) = F(x) + 5$ (donc $G'(x) = F'(x) = f(x)$)
• La fonction $H(x) = 3 x^2 + 1$ est la seule primitive de $f$ qui vaut 1 quand $x = 0$.
• Si $f(x) = 15 x^2$ alors $f(x) = 5 \times 3 x^2$, donc $F(x) = 5 \times x^3$ est une primitive de $f$.