Exercices : fonction exponentielle

• p.191 nº 43
• p.191 nº 45
• p.193 nº 70
• p.193 nº 71
• p.194 nº 88
• p.194 nº 89
• p.196 nº 100
• p.197 nº 110
• p.193 nº 78
• p.198 nº 117
• p.202 nº 132

p.191 nº 43

Développer expressions

1. $A = \e^x \left( \e^x + 5\right)$
   Aide

   Règles de calcul avec les puissances : $\e^a \times \e^b = \e^{a + b}$
   Solution

   $\begin{align*} & A = \e^x \left( \e^x + 5\right) \\ \Leftrightarrow & A = \e^x \times \e^x + \e^x \times 5 \\ \Leftrightarrow &A = \e^{2x} + 5\e^x \end{align*}$
2. $B = \e^{-x} \left( \e^x - 2\right)$
   Aide

   Règles de calcul avec les puissances : $\e^0 = 1$
   Solution

   $\begin{align*} & B = \e^{-x} \left( \e^x - 2\right) \\ \Leftrightarrow & B = \e^{-x} \times \e^x + \e^{-x} \times (-2) \\ \Leftrightarrow & B = \e^{0} - 2 \e^{-x} \\ \Leftrightarrow & B = 1 - 2 \e^{-x} \end{align*}$
3. $C = \e^{2x} \left( \e^x - \e^{-x}\right)$
   Solution

   $\begin{align*} & C = \e^{2x} \left( \e^x - \e^{-x}\right) \\ \Leftrightarrow & C = \e^{2x} \times \e^x - \e^{2x} \times \e^{-x} \\ \Leftrightarrow & C = \dots \end{align*}$

p.191 nº 45

1. $A = \left( \e^x -2 \right)^2$
   Aide

   • $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
   • Règles de calcul avec les puissances : $\left( \e^a \right)^b = \e^{a \times b}$
   Solution

   $\begin{align*} & A = \left( \e^x -2 \right)^2 \\ \Leftrightarrow & A = \left( \e^x \right)^2 - 2 \times \e^x \times 2 + 2^2\\ \Leftrightarrow &A = \e^{2x} -4 \e^x + 4 \end{align*}$
2. $B = \left( \e^x + 1 \right)^2$
   Solution

   $\begin{align*} & B = \left( \e^x +1 \right)^2 \\ \Leftrightarrow & B = \left( \e^x \right)^2 + 2 \times \e^x \times 1 + 1^2\\ \Leftrightarrow & B = \e^{2x} +2 \e^x + 1 \end{align*}$
3. $C = \left( \e^x - 3 \right)\left( \e^x + 3 \right)$
   Solution

   identité remarquable

p.193 nº 70

Etude de signes

1. $f(x) = (2x + 5)(\e^x + 3)$
   Aide

   • étude du signe du produit
   • quelque soit $x \in \setR : \e^x > 0$
   Solution

   • $2x + 5 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant -\dfrac52$
   • or quelque soit $x \in \setR : \e^x > 0$ donc $\e^x + 3 > 0$
   • donc $f(x)$ est du signe de $2x + 5$ ; donc $f(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left[ -\dfrac52 \,; +\infty \right[$.
2. $f(x) = (-3x + 1)(2\e^x + 1)$
   Solution

   • $-3x + 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant \dfrac13$
   • or quelque soit $x \in \setR : \e^x > 0$ donc $2\e^x + 1 > 0$
   • donc $f(x)$ est du signe de $-3x + 1$ ; donc $f(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left] -\infty \,; \dfrac13 \right]$.
3. $f(x) = (x + 7)(\e^x - 1)$
   Aide

   • $\e^0 = 1$
   • quelque soient les réels $x$ et $y$ : $x < y \Leftrightarrow \e^x < \e^y$
   • construire un tableau de signes
   Solution

   • $x + 7 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant -7$
   • $\e^x - 1 > 0 \Leftrightarrow \e^x > 1 \Leftrightarrow \dots$

   $\begin{array}{|l|ccccccc|} \hline x & -\infty & & & & & & +\infty \\\hline \text{signe de }x + 7 & & & \vrule & & \vrule & & \\\hline \text{signe de }\e^x - 1 & & & \vrule & & \vrule & & \\\hline \text{signe de }f(x) & & & \z & & \z & & \\\hline \end{array}$

p.193 nº 71

Etude de signes

1. $f(x) = 4x \e^x - \e^x$
   Aide

   Factoriser l'expression puis étudier le signe du produit.
   Solution

   • $f(x) = (4x - 1) \e^x$
   • or quelque soit $x \in \setR : \e^x > 0$ donc $f(x)$ est du signe de $4x - 1$
   • $f(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left[ \dfrac14 \,; +\infty \right[$.
2. $f(x) = -3 \e^x - 2x\e^x$
   Solution

   • $f(x) = (-3 - 2x) \e^x$
   • or quelque soit $x \in \setR : \e^x > 0$ donc $f(x)$ est du signe de $-3 - 2x$
   • $f(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left] -\infty\,; -\dfrac32 \right]$.
3. $f(x) = 7x \e^{-x} - 2\e^{-x}$
   Aide

   Quelque soit $y \in \setR : \e^{y} > 0$, en posant $y = -x$, on trouve ...
   Solution

   • $f(x) = (7x - 2) \e^{-x}$
   • or quelque soit $x \in \setR : \e^{-x} > 0$ donc $f(x)$ est du signe de $7x - 2$
   • $f(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \dots$.
4. $f(x) = x \e^{2x} + 5\e^{2x}$
   Aide

   Quelque soit $y \in \setR : \e^{y} > 0$, en posant $y = 2x$, on trouve ...
   Solution

   • $f(x) = (x + 5) \e^{2x}$
   • or quelque soit $x \in \setR : \e^{2x} > 0$ donc $f(x)$ est du signe de $x + 5$
   • $f(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \dots$.

p.194 nº 88

Résoudre dans $\setR$ les équations

1. $4\e^{-x} + 7 x \e^{-x} = 0$
   Aide

   • Factoriser l'expression puis appliquer la règle du produit nul.
   • quelque soit $y \in \setR : \e^y > 0$ donc $\e^y \neq 0$... en posant $y = -x$...
   Solution

   $\begin{align*} & 4\e^{-x} + 7 x \e^{-x} = 0 \\ \Leftrightarrow & (4 + 7x) \e^{-x} = 0 \\ \Leftrightarrow & 4 + 7x = 0 \end{align*}$

   donc $4\e^{-x} + 7 x \e^{-x} = 0 \Leftrightarrow x=\dots$

2. $\e^{2x} + 1 = -2\e^x$
   Aide

   • Reconnaître une identité remarquable
   • $\left( \e^a \right)^b = \e^{ab}$
   • $a^2 = 0 \Leftrightarrow a = 0$
   • quelque soit $x \in \setR : \e^x > 0$
   Solution

   $\begin{align*} & \e^{2x} + 1 = -2\e^x \\ \Leftrightarrow & \e^{2x} + 1 + 2\e^x = 0 \\ \Leftrightarrow & \left( \e^x + 1 \right)^2 = 0 \\ \Leftrightarrow & \e^x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & \e^x = -1 \\ \end{align*}$

   or $\e^x > 0$, donc l'équation n'admet pas de solution dans $\setR$.

3. $(3x - 5)(\e^x + 2) = 0$

p.194 nº 89

Résoudre dans $\setR$ les équations

1. $\dfrac{-4x + 1}{\e^{x}} = 0$
   Aide

   quelque soit $x \in \setR : \e^x > 0$
   Solution

   $\begin{align*} & \dfrac{-4x + 1}{\e^{x}} = 0 \\ \Leftrightarrow & -4x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = \dfrac14 \end{align*}$

   donc $\dfrac{-4x + 1}{\e^{x}} = 0 \Leftrightarrow x=\dfrac14$

2. $\dfrac{\e^x - 1}{\e^{x} + 7} = 0$
   Aide

   • quelque soit $x \in \setR : \e^x > 0$
   • $\e^a = \e^b \Leftrightarrow a = b$
   • $\e^0 = 1$
   Solution

   quelque soit $x \in \setR : \e^x > 0$, donc $\e^x + 7 > 0$

   $\begin{align*} & \dfrac{\e^x - 1}{\e^{x} + 7} = 0 \\ \Leftrightarrow & \e^x - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & \e^x = 1 \\ \Leftrightarrow & \e^x = \e^0 \\ \Leftrightarrow & x = 0 \end{align*}$

   donc $\dfrac{\e^x - 1}{\e^{x} + 7} = 0 \Leftrightarrow x=0$

3. $\dfrac{5\e^x - 3}{\e^{x} + 1} = 1$

p.196 nº 100

Résoudre dans $\setR$ les inéquations

1. $\e^{-5x} < \e^{6x + 3}$
   Aide

   $a < b \Leftrightarrow \e^a < \e^b$
   Solution

   $\begin{align*} & \e^{-5x} < \e^{6x + 3} \\ \Leftrightarrow & -5x < 6x + 3 \\ \Leftrightarrow & x > -\dfrac3{11} \end{align*}$

   donc $\e^{-5x} < \e^{6x + 3} \Leftrightarrow x \in \left] -\dfrac3{11}\,; +\infty \right[$

2. $\e^{7x - 1} \geqslant \e^{3x}$
   Solution

   $\begin{align*} & \e^{7x - 1} \geqslant \e^{3x} \\ \Leftrightarrow & 7x - 1 \geqslant 3x \\ \Leftrightarrow & x \geqslant \dfrac14 \end{align*}$

   donc $\e^{7x - 1} \geqslant \e^{3x} \Leftrightarrow x \in \left] \dfrac14\,; +\infty\right[$

p.197 nº 110

1. Équation réduite de la tangente.
   Aide

   Lire le coefficent directeur. Le point A appartient à la tangente.
   Solution

   On lit $m=1$ et $A(0\,; 1)$

   T a pour équation $y = m(x - x_A) + y_A$ donc $T : y = x +1$

2. $f(x) = \e^x - x - 1$
   1. Tableau de variations de $f$.
      Aide

      • La dérivée de $x \mapsto \e^x$ est $x \mapsto \e^x$
      • quelque soit $x \in \setR : \e^x > 0$
      Solution

      $f'(x) = \e^x - 1$

      $f'(x) > 0 \Leftrightarrow \e^x - 1 > 0 \Leftrightarrow \e^x > 1 \Leftrightarrow x > 0$

      Donc $f$ est croissante sur $[0\,; +\infty[$ et décroissante sur $]-\infty \,; 0]$

   2. Minimum de $f$.
      Solution

      D'après le tableau de variations, $f$ atteint son minimum pour $x=0$

      $f(0) = \e^0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0$

   3. Signe de $f$.
3. 1. Inégalité
      Aide

      Comparer à 0.
      Solution

      $\begin{align*} & 1 + x \leqslant \e^x \\ \Leftrightarrow & 0 \leqslant \e^x - 1 - x \\ \Leftrightarrow & \e^x -x - 1 \geqslant 0 \\ \Leftrightarrow & ... \end{align*}$

   2. Interpréation
      Solution

      La droite d'équation $y = 1 + x$ est sous la courbe d'équation $y = \e^x$, autrement dit la courbe de la fonction exponentielle est toujours au dessus de sa tangente au point d'abscisse 0.

p.193 nº 78

$f(x) = \e^{2x} + 4 \e^x - 6x$

1. Vérifier que $f'(x) = 2 \left( \e^x - 1 \right)\left( \e^x + 3 \right)$
   Aide

   La dérivée de $x \mapsto \e^{ax + b}$ est $x \mapsto a \e^{ax + b}$
   Solution

   $f(x) = \e^{2x} + 4 \e^x - 6x$

   $f'(x) = 2 \e^{2x} + 4 \e^x - 6$

   Une expression étant proposée, il est plus simple de développer l'expression proposée que de factoriser l'expression de $f'(x)$.

   Posons $A(x) = 2 \left( \e^x - 1 \right)\left(\e^x + 3\right)$

   $\begin{align*} & A(x) = 2 \left( \e^x - 1 \right)\left(\e^x + 3\right) \\ \Leftrightarrow & A(x) = 2 \left( \e^x \times \e^x + 3 \e^x - \e^x - 3 \right)\\ \Leftrightarrow & A(x) = 2 \left( \e^{2x} + 2 \e^x - 3 \right)\\ \Leftrightarrow & A(x) = 2 \e^{2x} + 4 \e^x - 6\\ \Leftrightarrow & A(x) = f'(x)\\ \end{align*}$

2. Signe $f'(x)$.
   Aide

   Utiliser la forme factorisée de la dérivée (signe d'un produit).
   Solution

   $f'(x) = 2 \left( \e^x - 1 \right)\left(\e^x + 3\right)$

   • $\begin{align*} & \e^x - 1 \geqslant 0 \\ \Leftrightarrow & \e^x \geqslant 1\\ \Leftrightarrow & \e^x \geqslant \e^0\\ \Leftrightarrow & x \geqslant 0\\ \end{align*}$
   • pour tout $x \in \setR : \e^x > 0$, donc $\e^x + 3 > 0$.
   • le signe de $f'(x)$ est donc celui de $\e^x - 1$.
3. Tableau de variations

p.198 nº 117

$f(x) = (1 - x) \e^{2x}$

1. Expression factorisée de $f'(x)$
   Aide

   • La dérivée de $x \mapsto \e^{ax + b}$ est $x \mapsto a \e^{ax + b}$
   • La dérivée de $u \times v$ N'EST PAS $u' \times v'$
   Solution

   $f(x) = (1 - x) \e^{2x}$

   $f$ est de la forme $u \times v$ avec $u(x) = 1- x$ et $v(x) = \e^{2x}$

   Donc $u'(x) = -1$ ; $v'(x) = 2 \e^{2x}$ et $f'(x)$ est de la forme $u'v + uv'$.

   $f'(x) = -1 \times \e^{2x} + (1 - x) \times 2 \e^{2x} = \e^{2x} (-1 + 2 -2 x) = (1 - 2x)\e^{2x}$

2. Variations de $f$.
   Aide

   • il faut étudier le signe de la dérivée.
   • pour tout $x \in \setR : \e^x > 0$
   Solution

   $f'(x) = (1 - 2x) \e^{2x}$

   on sait que pour tout $x$ réel, $\e^{2x} > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $(1 - 2x)$.

   Donc ... $f$ est croissante sur $\left]-\infty\,; \dfrac12 \right]$

3. Tangente au point d'abscisse 0.
   Aide

   • équation de la tangente : $y = f'(x_A)(x - x_A) + f(x_A)$.
   • $\e^0 = 1$
   Solution

   $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$

   $f'(0) = (1 - 2 \times 0) \e^{2 \times 0} = 1 \times 1 = 1$

   $f(0) = (1 - 0) \e^{2\times 0} = 1 \times 1 = 1$

   donc $y = 1 \times x + 1 = x + 1$

4. $f(x) = 2$
   Aide

   Utiliser le tableau de variations.

p.202 nº 132

Partie A

$g(x) = \e^x + x + 2$

1. Tableau de variations de $g$.
   Aide

   Il faut étudier le signe de la fonction dérivée.
2. Signe de $g$.
   Aide

   Calculer $g(0)$ et utiliser le tableau de variations.
   Solution

   $g(0) = \e^0 + 0 + 2 = 1 + 2 = 3$

   $g$ est strictement croissante et son minimum est 3, donc pour tout $x \in [0\,; +\infty[, g(x) > 0$.

Partie B

$f(x) = x - \dfrac{3 + x}{\e^x}$ sur $[0\,; +\infty[$.

1. Expression de $f'(x)$.
   Aide

   Rappel : la dérivée de $\dfrac{u}{v}$ est $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
   Solution

   $x \mapsto \dfrac{3 + x}{\e^x}$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $\color{green}{u(x) = 3 + x}$ et $v(x) = \e^x$.

   On a donc $\color{red}{u'(x) = 1}$ et $\color{blue}{v'(x)=\e^x}$

   donc $\begin{align*} f'(x) &= 1 - \dfrac{\color{red}{1} \times \e^x - \color{green}{(3 + x)} \times \color{blue}{\e^x}} {\left( \e^x \right)^2}\\ &= 1 - \dfrac{\e^x - (3 + x)\e^x}{\left( \e^x \right)^2}\\ &= 1 - \dfrac{\e^x (1 - 3 - x )}{\left( \e^x \right)^2}\\ &= 1 - \dfrac{\e^x (1 - 3 - x )}{\left( \e^x \right)^2}\\ &= 1 - \dfrac{-2 - x }{\e^x }\\ &= \dfrac{\e^x + 2 + x }{\e^x }\\ &= \dfrac{g(x) }{\e^x } \end{align*}$

2. Tableau de variations de $f$ sur $[0\,; +\infty[$.
   Solution

   $f'(x) = \dfrac{g(x)}{\e^x}$ ; or sur $[0\,; +\infty[$, on sait que $g(x) > 0$ et que $\e^x >0$, donc $f'(x)>0$.

   La fonction $f$ est donc strictement croissante.

   $f(0) = 0 - \dfrac{3 + 0}{\e^0} = \dfrac31 = -3$