Fonction dérivée - partie 1

• p. 116 n° 32 (1 - 2 - 3)
• p. 116 n° 33 (1 - 2)
• p. 120 n° 60 (1 - 2)
• p. 121 n° 71
• p. 122 n° 74

p. 116 n° 32

1. $f(x) = 3x^2 - 2x + 7$

   Aide

   • $f(x) = \color{red}{3x^2} + \color{blue}{(-2 x + 7)} = \color{red}{u(x)} + \color{blue}{v(x)}$
   • $\color{red}{u(x)} = 3 \times x^2$ de la forme « $k$ fois une fonction »
   • $\color{blue}{(-2 x + 7)}$ est une fonction affine
   Solution

   • $u(x) = 3x^2$ donc $u'(x) = 3 \times 2x = 6x$
   • $v(x) = -2x + 7$ donc $v'(x) = -2$
   • on en déduit que $f'(x) = u'(x) + v'(x) = 6x - 2$
   • $f'(x) \geqslant 0 \iff x \in \intfo{\dfrac13}{+\infty}$

2. $f(t) = 5t^3 + t + \sqrt2$

   Aide

   • $f(t) = \color{red}{5t^3} + \color{blue}{(t + \sqrt2)} = \color{red}{u(t)} + \color{blue}{v(t)}$
   • $\color{red}{u(t)} = 3 \times t^3$ de la forme « $k$ fois une fonction » et $t \mapsto t^3$ est de la forme $t \mapsto t^n$ avec $n=3$
   • $\color{blue}{(t + \sqrt2)}$ est une fonction affine
   Solution

   • $u(t) = 5t^3$ donc $u'(t) = 5 \times 3t^{3-1} = 15t^2$
   • $v(t) = t + \sqrt2$ donc $v'(t) = 1$
   • on en déduit que $f'(t) = u'(t) + v'(t) = 15t^2 + 1$
   • pour tout $t \in \setR : f'(t) > 0$

3. $f(x) = (x+3)(x^2-1)$

   Aide

   remarquer que $f(x) = \color{red}{x^3} + \color{blue}{(3x^2)} + \color{purple}{(-x - 3)}$
   Solution

   • $u(x) = x^3$ donc $u'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$
   • $v(x) = 3 \times x^2$ donc $v'(x) = 3 \times 2 x = 6 x$
   • $w(x) = -x - 3$ donc $w'(x) = -1$
   • on en déduit que $f'(x) = u'(x) + v'(x) + w'(x) = 3x^2 + 6x - 1$
   • $f'(x)$ est du signe de $3x^2 + 6x - 1$

p. 116 n° 33

1. $f(t) = 2t - \dfrac1t$

   Aide

   • $f(t) = \color{red}{2t} + \color{blue}{(-1) \times \dfrac1t} = \color{red}{u(t)} + \color{blue}{v(t)}$
   • $\color{red}{u(t)}$ est une fonction affine.
   • $\color{blue}{(-1) \times \dfrac1t}$ est de la forme « $k$ fois une fonction »
   Solution

   • $u(t) = 2t$ donc $u'(t) = 2$
   • $v(t) = (-1) \times \dfrac1t$ donc $v'(x) = (-1) \times \dfrac{-1}{t^2} = \dfrac1{t^2}$
   • on en déduit que $f'(t) = u'(t) + v'(t) = 2 + \dfrac1{t^2}$
   • pour tout $t \in \mathbb{R} : f'(t) > 0$

2. $f(x) = 5\sqrt{x}- 3x + 2$

   Aide

   • $f(t) = \color{red}{5\sqrt{x}} + \color{blue}{(-3 x + 2)} = \color{red}{u(x)} + \color{blue}{v(x)}$
   • $\color{red}{5 \times \sqrt{x}}$ est de la forme « $k$ fois une fonction »
   • $\color{blue}{v(x)}$ est une fonction affine.
   Solution

   • $u(x) = 5\sqrt{x}$ donc $u'(t) = 5 \times \dfrac1{2\sqrt{x}} = \dfrac5{2\sqrt{x}}$
   • $v(x) = -3x + 2$ donc $v'(x) = -3$
   • on en déduit que $f'(x) = u'(x) + v'(x) = \dfrac5{2\sqrt{x}} - 3$

p. 120 n° 60

1. $f(x) = 5x^3 - 7x + 2$

   Aide

   • $f(x) = \color{red}{5x^3} + \color{blue}{(-7x + 2)} = \color{red}{u(x)} + \color{blue}{v(x)}$
   • $\color{red}{u(x)}$ est de la forme « $k$ fois une fonction »
   • $\color{blue}{v(x)}$ est une fonction affine
   Solution

   • $u(x) = 5x^3$ donc $u'(x) = 5 \times 3 x^2$
   • $v(x) = -7x + 2$ donc $v'(x) = -7$
   • on en déduit que $f'(x) = u'(x) + v'(x) = 15x^2 - 7$
   • donc $f'(x) \geqslant 0 \iff x \in \intof{-\infty}{-\sqrt{\dfrac7{15}}} \cup \intfo{\sqrt{\dfrac7{15}}}{+\infty}$

2. $f(t) =-7 t^2 - \dfrac3t + 5$

   Aide

   • $f(t) = \color{red}{-7 t^2} + \color{blue}{(-3 \times \dfrac1t)} + \color{purple}{5} = \color{red}{u(t)} + \color{blue}{v(t)} + \color{purple}{w(t)}$
   • $\color{red}{u(t)}$ et $\color{blue}{v(t)}$ sont de la forme « $k$ fois une fonction »
   • $\color{purple}{w(t)}$ est une fonction affine.

p. 121 n° 71

Déterminer les équations réduites des tangentes horizontales à la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\setR$ par : $$g(x) = 4x^3 - 21x^2 + 18 x + 2$$

p. 122 n° 74

$f$ est définie sur $\setR$ par $f(x) = -3 x^3 - x^2 -x + 1$

Déterminer les équations réduites des tangentes à $\mathscr C_f$ parallèles à la droite d'équation $y = -8x + 2$.