Fonction dérivée - partie 2
p. 117 n° 38
$f(x) = (x^2 + 2) \sqrt{x}$ sur $\intoo0{+\infty}$
Pour compléter : tableau de variations
Aide$f$ de la forme $u \times v$ avec $u(x) = x^2 + 2$ et $v(x) = \sqrt{x}$.Solution calcul formelf(x) := (x^2 + 2) * sqrt(x)normal( f'(x) )renvoie $\dfrac{(5 x^2+2) \sqrt{x}}{2 x}$
Solution- $u(x) = x^2 + 2$ donc $u'(x) = 2x$
- $v(x) = \sqrt{x}$ donc $v'(x) = \dfrac1{2\sqrt{x}}$
- $\begin{array}{ll} f'(x) &= 2x \sqrt{x} + (x^2 + 2) \times \dfrac1{2\sqrt{x}}\\ f'(x) &= \dfrac{2x \sqrt{x} \times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + (x^2 + 2) \times \dfrac1{2\sqrt{x}}\\ f'(x) &= \dfrac{4 x^2 + (x^2 + 2)}{2\sqrt{x}}\\ \end{array}$
$f(t) = \dfrac1{2t^2 + 4}$ sur $\setR$
Pour compléter : tableau de variations
Aide$f$ de la forme $\dfrac1v$ avec $v(t) = 2t^2 + 4$.Solution calcul formelf(t) := 1/(2*t^2 + 4)normal( f'(x) )factoriser( f'(x) )renvoie $-\dfrac{-t}{(t^2 + 2)^2}$
Solution- $v(t) = 2t^2 + 4$ donc $v'(t) = 2 \times 2 t = 4t$
- $\begin{array}{ll} f'(t) &= - \dfrac{4t}{(2t^2 + 4)^2} \end{array}$
$f(x) = \dfrac4{2x^3 - x^2}$ sur $\intoo1{+\infty}$
Pour compléter : tableau de variations
Aide$f$ de la forme $k \times \dfrac1v$ avec $v(x) = 2x^3 - x^2$ et $k = 4$.Solution calcul formelf(x) := 4/(2*x^3 - x^2)normal( f'(x) )factoriser( f'(x) )renvoie $-\dfrac{8(3x-1)}{x^3 (2x-1)^2}$
Solution- $v(x) = 2x^3 - x^2$ donc $v'(x) = 2 \times 3 x^2 - 2 x$
- $\begin{array}{ll} f'(x) &= 4 \times \left( - \dfrac{2 \times 3 x^2 - 2 x}{(2x^3 - x^2)^2}\right)\\ f'(x) &= - \dfrac{8 (3x - 1)}{(2x^3 - x^2)^2} \end{array}$
$f(x) = \dfrac{4x-1}{3x^2 + 2x + 1}$ sur $\intfo0{+\infty}$
Pour compléter : tableau de variations
Aide$f$ de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x) = 4x - 1$ et $v(x) = 3x^2 + 2x + 1$.Solution calcul formelf(x) := (4*x - 1)/(3*x^2 + 2*x + 1)normal( f'(x) )factoriser( f'(x) )renvoie $-\dfrac{6(x-1)(2x+1)} {\left( 3x^2 + 2x + 1\right)^2}$
Solution- $u(x) = 4x - 1$ donc $u'(x) = 4$
- $v(x) = 3x^2 + 2x + 1$ donc $v'(x) = 3 \times 2x + 2 = 6x + 2$
- $\begin{array}{ll} f'(x) &= \dfrac{ 4 \times (3x^2 + 2x + 1) - (4x - 1) \times (6x + 2)} {\left( 3x^2 + 2x + 1\right)^2}\\ f'(x) &= \dfrac{ 12x^2 + 8x + 4 - (24 x^2 + 8x - 6x - 2)} {\left( 3x^2 + 2x + 1\right)^2}\\ f'(x) &= \dfrac{ -12x^2 + 6x + 6} {\left( 3x^2 + 2x + 1\right)^2}\\ f'(x) &= \dfrac{ 6(-2x^2 + x + 1)} {\left( 3x^2 + 2x + 1\right)^2}\\ \end{array}$
p. 117 n° 39
$f(x) = 2x^3\sqrt{x}$ sur $\intoo0{+\infty}$
Pour compléter : tableau de variations
Aide$f$ de la forme $u \times v$ avec $u(x) = 2x^3$ et $v(x) = \sqrt{x}$.Solution calcul formelf(x) := 2*x^3 * sqrt(x)normal( f'(x) )renvoie $7x^2 \sqrt{x}$
Solution- $u(x) = 2x^3$ donc $u'(x) = 2 \times 3x^2 = 6x^2$
- $v(x) = \sqrt{x}$ donc $v'(x) = \dfrac1{2\sqrt{x}}$
- $\begin{array}{ll} f'(x) &= 6x^2 \times \sqrt{x} + 2x^3 \times \dfrac1{2\sqrt{x}}\\ f'(x) &= 6x^2 \times \sqrt{x} + x^2 \times \sqrt{x} \times \sqrt{x} \times \dfrac1{\sqrt{x}}\\ f'(x) &= 6x^2 \times \sqrt{x} + x^2 \times \sqrt{x} \\ f'(x) &= 7x^2 \times \sqrt{x}\\ \end{array}$
$f(x) = (x + 1)(x^2 + 3x - 1)$ sur $\setR$
Pour compléter : tableau de variations
Aide$f$ de la forme $u \times v$ avec $u(x) = x + 1$ et $v(x) = x^2 + 3x - 1$.Solution calcul formelf(x) := (x + 1)*(x^2 + 3*x - 1)normal( f'(x) )renvoie $3x^2 + 8x + 2$
Solution- $u(x) = x + 1$ donc $u'(x) = 1$
- $v(x) = x^2 + 3x - 1$ donc $v'(x) = 2x + 3$
- $\begin{array}{ll} f'(x) &= 1 \times (x^2 + 3x - 1) + (x + 1) \times (2x + 3)\\ f'(x) &= x^2 + 3x - 1 + 2x^2 + 5x + 3\\ f'(x) &= 3x^2 + 8x + 2 \\ \end{array}$
$f(x) = \dfrac{2x + 3}{x-3}$ sur $\intoo{-\infty}3$
Pour compléter : tableau de variations
Aide$f$ de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x) = 2x + 3$ et $v(x) = x-3$.Solution calcul formelf(x) := (2*x + 3)/(x - 3)normal( f'(x) )factoriser( f'(x) )renvoie $-\dfrac9{(x-3)^2}$
Solution- $u(x) = 2x + 3$ donc $u'(x) = 2$
- $v(x) = x - 3$ donc $v'(x) = 1$
- $\begin{array}{ll} f'(x) &= \dfrac{2 \times (x-3) - (2x + 3) \times 1}{(x-3)^2}\\ f'(x) &= \dfrac{2x - 6 - 2x - 3}{(x-3)^2}\\ f'(x) &= \dfrac{-9}{(x-3)^2}\\ \end{array}$
$f(t) = \dfrac{3t^2 - 1}{\sqrt{t}}$ sur $\intoo0{+\infty}$
Pour compléter : tableau de variations
Aide$f$ de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x) = 3t^2 - 1$ et $v(x) = \sqrt{t}$.Solution calcul formelf(t) := (3*t^2 - 1)/(sqrt(t))normal( f'(x) )renvoie $\dfrac{(9t^2 + 1)\sqrt{t}}{2t^2}$
Solution- $u(t) = 3t^2 - 1$ donc $u'(t) = 3 \times 2t = 6t$
- $v(x) = \sqrt{t}$ donc $v'(x) = \dfrac1{2\sqrt{t}}$
- $\begin{array}{ll} f'(t) &= \dfrac{6t \times \sqrt{t} - (3t^2 - 1) \times \dfrac1{2\sqrt{t}}}{(\sqrt{t})^2}\\ f'(t) &= \dfrac{6t \sqrt{t} \times 2\sqrt{t} - (3t^2 - 1)} {2\sqrt{t} \times t}\\ f'(t) &= \dfrac{12t^2 - 3t^2 +1}{2\sqrt{t} \times t}\\ f'(t) &= \dfrac{9t^2 +1}{2\sqrt{t} \times t}\\ \end{array}$
p. 117 n° 40
$f(t) = (3t + 1)^5$ sur $\setR$
Pour compléter : tableau de variations
Aide$f$ de la forme $u(at + b)$ avec $u(X) = X^5$ ; $a=3$ et $b=1$.Solution calcul formelf(t) := (3*t + 1)^5normal( f'(t) )factoriser( f'(t) )renvoie $15 (3t + 1)^4$
Solution- $u(X) = X^5$ donc $u'(X) = 5 X^4$
- $\begin{array}{ll} f'(t) &= 3 \times 5 X^4\\ f'(t) &= 15 (3t + 1)^4\\ \end{array}$
$f(x) = \sqrt{3x + 1}$ sur $\intoo{-\frac13}{+\infty}$
Pour compléter : tableau de variations
Aide$f$ de la forme $u(ax + b)$ avec $u(X) = \sqrt{X}$ ; $a=3$ et $b=1$.Solution calcul formelf(x) := sqrt(3*x + 1)normal( f'(x) )factoriser( f'(x) )renvoie $\dfrac3{2\sqrt{3x + 1}}$
Solution- $u(X) = \sqrt{X}$ donc $u'(X) = \dfrac1{2\sqrt{X}}$
- $\begin{array}{ll} f'(t) &= 3 \times \dfrac1{2\sqrt{X}}\\ f'(t) &= 3 \times \dfrac1{2\sqrt{3x + 1}}\\ \end{array}$
$f(x) = -3(5 - 4x)^5$ sur $\setR$
Pour compléter : tableau de variations
Aide$f$ de la forme $k \times u(at + b)$ avec $u(X) = X^5$ ; $a=-4$ et $b=5$ et $k=-3$.Solution calcul formelf(x) := -3*(5 - 4x)^5normal( f'(x) )factoriser( f'(x) )renvoie $60 (4x - 5)^4$
Solution- $u(X) = X^5$ donc $u'(X) = 5 X^4$
- $\begin{array}{ll} f'(x) &= -3 \times (-4) \times 5 X^4\\ f'(x) &= 60 (5 - 4x)^4\\ \end{array}$
$f(x) = \sqrt{4 - 2x}$ sur $\intoo{-\infty}{2}$
Pour compléter : tableau de variations
Aide$f$ de la forme $u(ax + b)$ avec $u(X) = \sqrt{X}$ ; $a=-2$ et $b=4$.Solution calcul formelf(x) := sqrt(4 - 2*x)normal( f'(x) )factoriser( f'(x) )renvoie $-\dfrac1{\sqrt{-x + 2}\sqrt{2}}$
Solution- $u(X) = \sqrt{X}$ donc $u'(X) = \dfrac1{2\sqrt{X}}$
- $\begin{array}{ll} f'(t) &= -2 \times \dfrac1{2\sqrt{X}}\\ f'(t) &= -\dfrac1{\sqrt{4 - 2x}}\\ \end{array}$
p. 125 n° 92
distance $MN$
On sait que : $MN = \sqrt{\left( x_M -x_N\right)^2 + \left( y_M -y_N\right)^2}$
Le point M appartient à $\mathscr C_f$, donc ses coordonnées sont $(x_M\,; f(x_M))$ ; le point N appartient à $\mathscr C_g$, donc ses coordonnées sont $(x_N\,; g(x_N))$.
Or $x_M = x_N$, donc $MN = \sqrt{\left( y_M -y_N\right)^2} = \mid y_M-y_N \mid$
sur $\intff{-3}2$, on sait que $f(x) \geqslant g(x)$, c'est à dire $y_M \geqslant y_N$.
$MN = \mid y_M-y_N \mid = y_M-y_N = f(x) - g(x)$
$MN$ est maximale quand $f(x) - g(x)$ est maximale.
Etude de $h(x) =f(x) - g(x)$
Fonction dérivée :
$h(x) = x^3 + 12 - (x^2 + 8x) = (x+ 3)(x-2)^2$
À partir de l'expression dévéloppée :
$h'(x) = 3x^2 + 0 - 2x - 8 = 3x^3 - 2x - 8$
Signe de $h'(x)$
On reconnaît un polynôme du second degré ; parabole orientée «vers le haut» (car le coefficient de $x^2$ est positif).
$2$ est racine évidente ; produit des racines : $x_2 = -\dfrac43$.
Donc $h'(x)\geqslant 0 $ sur $\intff{-3}{-\dfrac43}$ et négative sur $\intff{-\dfrac43}2$.
Variations de $h$
La fonction $h$ est croissante sur $\intff{-3}{-\dfrac43}$ puis décroissante sur $\intff{-\dfrac43}2$.
Conclusion
La distance $MN$ est maximale quand $x = -\dfrac43$ et elle vaut $\dfrac{500}{27} \approx 18,3$