Exercices : Fonctions trigonométriques
- p.213 nº 2
- p.213 nº 3
- p.213 nº 4
- p.222 nº 39
- p.223 nº 48
- p.225 nº 68
- p.226 nº 80
- p.226 nº 71
- p.228 nº 94
- p.230 nº 106
- p.230 nº 107
- p.227 nº 89
p.213 nº 2
réels associés à un point
Placer les points associés aux réels :
point | R | S | T | U | V |
---|---|---|---|---|---|
réels | 2π3 | 13π6 | 21π4 | −19π2 | −15π |
Le sens positif (le sens trigonométrique) est le sens contraire des aiguilles d'une montre
Dans le sens positif la mesure de l'angle en radian correspond à longueur de l'arc ⌢AB
Le cercle complet correspond à un angle de 2π radians.
Les multiples de π3 ont pour cosinus ±12 ; les multiples de π6 ont pour sinus ±12 ; les multiples de π4 sont les bissectrices du repère.
p.213 nº 3
Montrer que les réels suivant sont associés au même point.
Deux réels α et β sont sur le même point du cercle trigonométrique s'ils différent d'un multiple de 2π.
Image mentale : partant de α, il faut faire k tours complets pour rejoindre β.
Mathématiquement : il existe un entier relatif k tel que : β=α+k×(2π)⇔β−α=k×(2π)⇔β−α2π=k
- 17π4−π4=16π4=4π=2×(2π) ; donc en faisant 2 tours dans le sens trigonométrique en partant de π4, on arrive sur le même point qui correspond à 17π4
- −23π4−π4=−24π4=−6π=−3×(2π) ; donc en faisant 3 tours dans le sens inverse au sens trigonométrique en partant de π4, on arrive sur le même point qui correspond à −23π4
clique ici pour écrire le nombre de tours nécessaires pour atteidre 89π4 à partir de 17π4.
p.213 nº 4
Trouver l'intrus
-
a) 0 ; b) 2π ; c) −5π ; d) −6π ;AideSolution
l'intrus est −5π ; en effet 0 est à la même position que 2π, car 2π=1×2π ; et que −6π, car −6π=−3×2π.
-
a) π2 ; b) 3π2 ; c) −3π2 ; d) 5π2 ;
-
a) 3π4 ; b) −5π4 ; c) 7π4 ; d) 11π4 ;
-
a) π3 ; b) −4π3 ; c) −5π3 ; d) 7π3 ;
clique ici pour écrire les trois lettres des intrus pour les questions 2 à 4.
p.222 nº 39
Donner la valeur associée en radians
-
Valeurs dans [0;2π[.AideSolution
- 45∘ est associé à π4
- 150∘ est associé à 5π6
- 60∘ est associé à 5π3
-
Valeurs dans [−π;π[.Solution
- 45∘ est associé à π4
- 150∘ est associé à 5π6
- 60∘ est associé à −π3
clique ici pour écrire l'angle en degrés associé à −π6.
p.223 nº 48
- Si x∈[0;π2], alors sinx⩾
- Si \sin x \geqslant 0, alors x \in \intff0{\dfrac{\pi}2}
- Si x \in \intff0{\pi}, alors \cos x \geqslant 0
- Si \cos x \geqslant 0, on peut avoir x \in \intff{-\dfrac{\pi}2}{\dfrac{\pi}2}
clique ici pour écrire les quatre lettres (en majuscule) V ou F (Vrai ou Faux) correspondant aux réponses.
p.225 nº 68
Calculer la valeur exacte de \cos x
-
Aide
- En utilisant la formule \cos^2 x + \sin^2 x = 1, on calcule la valeur exacte de \cos^2 x.
En utilisant un cercle trigonométrique, on peut déterminer le signe de \cos x
si on ne connaît que la valeur de \color{red}{\sin x}, il y a deux réels possibles ; mais si on sait que \color{green}{x \in \left[ \dfrac{\pi}2\,; \pi \right[}, alors un seul réel x est possible et on connaît aussi son cosinus !
Solution\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos^2 x = \dfrac{16}{25}
x \in \left[ 0 \,; \dfrac{\pi}2 \right], donc \cos x \geqslant 0
donc \cos x = \dfrac45.
-
Solution
\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos^2 x = \dfrac{16}{25}
x \in \left[ \dfrac{\pi}2 \,; \pi \right], donc \cos x \leqslant 0
donc \cos x = -\dfrac45.
-
Solution
\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos^2 x = \dfrac{21}{25}
x \in \left[ \dfrac{3\pi}2 \,; 2\pi \right], donc \cos x \geqslant 0
donc \cos x = \dfrac{\sqrt{21}}5.
Soit x \in [-\pi \,; 0] et \cos x = \dfrac{15}{17}. clique ici pour écrire la valeur de \sin x sous forme de fraction réduite (exemple : pour -\dfrac68 écrire «-3sur4»).
p.226 nº 80
-
Soit a \in \intff0{\dfrac{\pi}2} tel que \cos a = \dfrac35.
Montrer que \sin a = \dfrac45.
Aide- En utilisant la formule \cos^2 x + \sin^2 x = 1, on calcule la valeur exacte de \cos^2 x.
En utilisant un cercle trigonométrique, on peut déterminer le signe de \cos x
si on ne connaît que la valeur de \color{red}{\sin x}, il y a deux réels possibles ; mais si on sait que \color{green}{x \in \left[ \dfrac{\pi}2\,; \pi \right[}, alors un seul réel x est possible et on connaît aussi son cosinus !
Solution\cos^2 a + \sin^2 a = 1 \Leftrightarrow \sin^2 a = \dfrac{16}{25}
a \in \left[ 0 \,; \dfrac{\pi}2 \right], donc \sin a \geqslant 0
donc \sin a = \dfrac45.
-
a) \cos(-a) b) \sin(-a) c) \cos(\pi + a) d) \sin(\pi + a) e) \cos(\pi - a) f) \sin(\pi - a) g) \cos(a + 2\pi) h) \sin(a + 2\pi) AideUtiliser la cercle trigonométrique et les symétries axiales et centrales
figure gauche figure droite \color{blue}{\cos}(\color{brown}{\pi - \alpha}) = \color{blue}{-\cos}\color{green}{\alpha} \color{blue}{\cos}(\color{brown}{\pi + \alpha}) = \color{blue}{-\cos}\color{green}{\alpha} \color{red}{\sin}(\color{brown}{\pi - \alpha}) = \color{red}{\sin}\color{green}{\alpha} \color{red}{\sin}(\color{brown}{\pi + \alpha}) = \color{red}{-\sin}\color{green}{\alpha}
clique ici pour écrire dans l'ordre alphabétique les lettres minuscules des questions dont la réponse est -\dfrac35.
p.226 nº 71
- Calculer pour différents réels x la valeur de l'expression A(x) = (\cos x + \sin x)^2 + (\cos x - \sin x)^2.
- Émettre une conjecture.
- Démontrer la conjecture
A(x) est constante quelque soit x.
p.228 nº 94
-
Résoudre sur [-\pi\,; \pi] : \cos x \geqslant \dfrac12.Aide
Tous les réels x associés aux points de l'arc de cercle rouge vérifient \cos x \geqslant \dfrac12.
À l'aide du schéma déterminer les réels associés aux extrémités de l'arc de cercle rouge.
Solutionles réels de [-\pi\,; \pi] ayant pour cosinus \dfrac12 sont -\dfrac{\pi}3 et \dfrac{\pi}3.
Donc \cos x \geqslant \dfrac12 \Leftrightarrow x \in \left[-\dfrac{\pi}3 \,; \dfrac{\pi}3 \right]
-
-
Résoudre sur [-\pi\,; \pi] : \sin x > \dfrac12.AideSolution
les réels de [-\pi\,; \pi] ayant pour sinus \dfrac12 sont \dfrac{\pi}6 et \dfrac{5\pi}6.
Donc \cos x > \dfrac12 \Leftrightarrow x \in \left]\dfrac{\pi}6 \,; \dfrac{5\pi}6 \right[
-
Résoudre sur [-\pi\,; \pi] : \cos x < -\dfrac{\sqrt2}2.Aide
-
Résoudre sur [-\pi\,; \pi] : \sin x \leqslant -\dfrac{\sqrt3}2.AideSolution
les réels de [-\pi\,; \pi] ayant pour sinus -\dfrac{\sqrt3}2 sont -\dfrac{2\pi}3 et -\dfrac{\pi}3.
Donc \sin x < -\dfrac{\sqrt3}2 \Leftrightarrow x \in \left[-\dfrac{2\pi}3\,; -\dfrac{\pi}3 \right]
-
clique ici pour écrire «vrai» si la réponse à la question 2b est : x \in \left] -\dfrac{3\pi}4 \,; \dfrac{3\pi}4 \right[ ou «faux» dans le cas contraire.
p.230 nº 106
-
Résoudre dans \intof{-\pi}{\pi} :
- \cos x = \ffrac12
- \cos x = \ffrac{-\sqrt2}2
- \sin x = \ffrac{\sqrt3}2
- \sin x = -\ffrac12
AideTravailler dans le cercle trigonométrique, puis :
- tracer la droite d'équation x=\ffrac12
- tracer la droite d'équation x=\ffrac{-\sqrt2}2
- tracer la droite d'équation y=\ffrac{\sqrt3}2
- tracer la droite d'équation y=-\ffrac12
Solution- \cos x = \ffrac12 \iff x = -\ffrac{\pi}3 \text{ ou } x = \ffrac{\pi}3
- \cos x = \ffrac{-\sqrt2}2 \iff x = -\ffrac{3\pi}4 \text{ ou } x = \ffrac{3\pi}4
- \sin x = \ffrac{\sqrt3}2 \iff x = \ffrac{\pi}3 \text{ ou } x = \ffrac{2\pi}3
- \sin x = -\ffrac12 \iff x = -\ffrac{5\pi}6 \text{ ou } x = -\ffrac{\pi}6$
-
Résoudre les équations de la question 1 dans \intfo{0}{\pi}, puis dans \setR.Solution
sur \intfo0{2\pi}
- \cos x = \ffrac12 \iff x = \ffrac{\pi}3\text{ ou } x = \ffrac{5\pi}3
- \cos x = \ffrac{-\sqrt2}2 \iff x = \ffrac{3\pi}4\text{ ou } x = \ffrac{5\pi}4
- \sin x = \ffrac{\sqrt3}2 \iff x = \ffrac{\pi}3\text{ ou } x = \ffrac{2\pi}3
- \sin x = -\ffrac12 \iff x = \ffrac{7\pi}6\text{ ou } x = \ffrac{11\pi}6
sur \setR
- \cos x = \ffrac12 \iff x = -\ffrac{\pi}3 + 2k\pi \text{ ou } x = \ffrac{\pi}3 + 2k\pi
- \cos x = \ffrac{-\sqrt2}2 \iff x = -\ffrac{3\pi}4 + 2k\pi\text{ ou } x = \ffrac{3\pi}4 +2k\pi
- \sin x = \ffrac{\sqrt3}2 \iff x = \ffrac{\pi}3 + 2k\pi \text{ ou } x = \ffrac{2\pi}3 + 2k\pi
- \sin x = -\ffrac12 \iff x = -\ffrac{5\pi}6 + 2k\pi \text{ ou } x = -\ffrac{\pi}6 + 2k\pi
p.230 nº 107
-
Résoudre dans \intff{-\pi}{\pi} :
- \cos^2 x = 1
- 2\sin^2 x - 1 = 0
Aide- On pose X = \cos x (avec X \in \intff{-1}1) ; l'équation devient X^2 = 1 ; puis connaissant la (les) solutions X, on trouve les valeurs x.
- On pose X = \sin x (avec X \in \intff{-1}1) ; l'équation devient 2 X^2 - 1 = 0 ; puis connaissant la (les) solutions X, on trouve les valeurs x.
SolutionX^2 = 1 \iff X=-1 \text{ ou } X=1
X = -1 \iff \cos x = -1 \iff x= -\pi \text{ ou } x=\pi
X = 1 \iff \cos x = 1 \iff x= 0
donc l'équation admet trois solutions sur \intff{-\pi}{\pi} : \lbrace -\pi\,; 0 \,; \pi \rbrace.
2 X^2 - 1 = 0 \iff X = -\dfrac{\sqrt2}2 \text{ ou } X = \dfrac{\sqrt2}2
X = -\dfrac{\sqrt2}2 \iff \sin x = -\dfrac{\sqrt2}2 \iff x = -\dfrac{3\pi}4 \text{ ou } x =\dfrac{3\pi}4
X = \dfrac{\sqrt2}2 \iff \sin x = \dfrac{\sqrt2}2 \iff x = -\dfrac{\pi}4 \text{ ou } x =\dfrac{\pi}4
donc l'équation admet quatre solutions sur \intff{-\pi}{\pi} : \lbrace -\dfrac{3\pi}4 \,; -\dfrac{\pi}4 \,; \dfrac{\pi}4\,; \dfrac{3\pi}4 \rbrace.
-
Résoudre dans \intff{0}{2\pi} :
2\sin^2x + 5\sin x- 3 = 0
Aidequand on pose X = \sin x, il faut X \in \intff{-1}1.
-
Résoudre dans \intff{0}{2\pi} :
-\sin^2x + 2\cos x + 2 = 0
Aidetravailler uniquement avec des cosinus à l'aide de la relation \cos^2 x + \sin^2 x = 1
clique ici pour écrire la somme du nombre de solutions trouvées aux questions 2 et 3.
p.227 nº 89
-
ConjecturesAide
on remarque une symétrie et un motif qui se répète.
Solutionparité
La courbe semble symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, la fonction serait paire
périodicité
la fonction semble π-périodique.
-
DémonstrationAide
fonction paire : pour tout x \in \setR : f(-x) = f(x).
fonction π-périodique : pour tout x \in \setR : f(x + \pi) = f(x)
Solutionparité
il faut vérifier que pour tout x \in \setR : f(-x) = f(x).
on sait que pour tout x \in \setR : \cos(-x) = \cos(x), donc (\cos(-x))^2 = (\cos(x))^2 : la fonction f est paire.
périodicité
il faut vérifier que pour tout x \in \setR : f(x + \pi) = f(x)
on sait que pour tout x \in \setR : \cos(x + \pi) = -\cos(x) donc (\cos(x + \pi))^2 = (-\cos(x))^2 = (\cos(x))^2 : la fonction f est π-périodique.
clique ici pour écrire «vrai» si les fonctions x \mapsto \sin(x) et x \mapsto (\sin(x))^2 ont la même parité ou «faux» sinon.