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   Frédéric Léon -- MATHS -- E. Brontë

Exercices : Fonctions trigonométriques

p.213 nº 2

réels associés à un point

Placer les points associés aux réels :

point R S T U V
réels 2π3 13π6 21π4 19π2 15π
Aide

Le sens positif (le sens trigonométrique) est le sens contraire des aiguilles d'une montre

Dans le sens positif la mesure de l'angle en radian correspond à longueur de l'arc AB

Le cercle complet correspond à un angle de 2π radians.

Les multiples de π3 ont pour cosinus ±12 ; les multiples de π6 ont pour sinus ±12 ; les multiples de π4 sont les bissectrices du repère.

mesure d'un angle - mesure d'un angle

Solution

p.213 nº 3

Montrer que les réels suivant sont associés au même point.

π4;17π4;23π4
Aide

Deux réels α et β sont sur le même point du cercle trigonométrique s'ils différent d'un multiple de 2π.

Image mentale : partant de α, il faut faire k tours complets pour rejoindre β.

Mathématiquement : il existe un entier relatif k tel que : β=α+k×(2π)βα=k×(2π)βα2π=k

Solution
  • 17π4π4=16π4=4π=2×(2π) ; donc en faisant 2 tours dans le sens trigonométrique en partant de π4, on arrive sur le même point qui correspond à 17π4
  • 23π4π4=24π4=6π=3×(2π) ; donc en faisant 3 tours dans le sens inverse au sens trigonométrique en partant de π4, on arrive sur le même point qui correspond à 23π4

clique ici pour écrire le nombre de tours nécessaires pour atteidre 89π4 à partir de 17π4.

p.213 nº 4

Trouver l'intrus

  1. a) 0 ; b) 2π ; c) 5π ; d) 6π ;
    Aide

    Deux réels α et β sont au même endroit sur le cercle trigonométrique s'ils différents d'un multiple de 2π.

    Autrement dit : il existe kZ tel que β=α+k×2π.

    On peut s'aider de dessins !

    cercle trigo

    Solution

    l'intrus est 5π ; en effet 0 est à la même position que 2π, car 2π=1×2π ; et que 6π, car 6π=3×2π.

  2. a) π2 ; b) 3π2 ; c) 3π2 ; d) 5π2 ;
  3. a) 3π4 ; b) 5π4 ; c) 7π4 ; d) 11π4 ;
  4. a) π3 ; b) 4π3 ; c) 5π3 ; d) 7π3 ;

clique ici pour écrire les trois lettres des intrus pour les questions 2 à 4.

p.222 nº 39

Donner la valeur associée en radians

  1. Valeurs dans [0;2π[.
    Aide

    On peut s'aider de dessins !

    cercle trigo

    sur [π;π[, l'angle α est associé au réel 3π4 et l'angle β au réel π2

    sur [0;2π[, l'angle α est associé au réel 3π4 et l'angle β au réel 3π2

    Solution
    • 45 est associé à π4
    • 150 est associé à 5π6
    • 60 est associé à 5π3
  2. Valeurs dans [π;π[.
    Solution
    • 45 est associé à π4
    • 150 est associé à 5π6
    • 60 est associé à π3

clique ici pour écrire l'angle en degrés associé à π6.

p.223 nº 48

Vrai / Faux
  1. Si x[0;π2], alors sinx
  2. Si \sin x \geqslant 0, alors x \in \intff0{\dfrac{\pi}2}
  3. Si x \in \intff0{\pi}, alors \cos x \geqslant 0
  4. Si \cos x \geqslant 0, on peut avoir x \in \intff{-\dfrac{\pi}2}{\dfrac{\pi}2}
Aide

On peut s'aider de dessins !

cercle trigo si \color{green}{x \in \left[\dfrac{\pi}2\,; \pi\right]} alors \color{red}{\sin x \in [0\,; 1]} et \color{blue}{\cos x \in [-1\,; 0]}.

clique ici pour écrire les quatre lettres (en majuscule) V ou F (Vrai ou Faux) correspondant aux réponses.

p.225 nº 68

Calculer la valeur exacte de \cos x

  1. Aide
    • En utilisant la formule \cos^2 x + \sin^2 x = 1, on calcule la valeur exacte de \cos^2 x.
    • En utilisant un cercle trigonométrique, on peut déterminer le signe de \cos x

      recherche angle, sinus connu

      si on ne connaît que la valeur de \color{red}{\sin x}, il y a deux réels possibles ; mais si on sait que \color{green}{x \in \left[ \dfrac{\pi}2\,; \pi \right[}, alors un seul réel x est possible et on connaît aussi son cosinus !

    Solution

    \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos^2 x = \dfrac{16}{25}

    x \in \left[ 0 \,; \dfrac{\pi}2 \right], donc \cos x \geqslant 0

    donc \cos x = \dfrac45.

  2. Solution

    \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos^2 x = \dfrac{16}{25}

    x \in \left[ \dfrac{\pi}2 \,; \pi \right], donc \cos x \leqslant 0

    donc \cos x = -\dfrac45.

  3. Solution

    \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos^2 x = \dfrac{21}{25}

    x \in \left[ \dfrac{3\pi}2 \,; 2\pi \right], donc \cos x \geqslant 0

    donc \cos x = \dfrac{\sqrt{21}}5.

Soit x \in [-\pi \,; 0] et \cos x = \dfrac{15}{17}. clique ici pour écrire la valeur de \sin x sous forme de fraction réduite (exemple : pour -\dfrac68 écrire «-3sur4»).

p.226 nº 80

  1. Soit a \in \intff0{\dfrac{\pi}2} tel que \cos a = \dfrac35.

    Montrer que \sin a = \dfrac45.

    Aide
    • En utilisant la formule \cos^2 x + \sin^2 x = 1, on calcule la valeur exacte de \cos^2 x.
    • En utilisant un cercle trigonométrique, on peut déterminer le signe de \cos x

      recherche angle, sinus connu

      si on ne connaît que la valeur de \color{red}{\sin x}, il y a deux réels possibles ; mais si on sait que \color{green}{x \in \left[ \dfrac{\pi}2\,; \pi \right[}, alors un seul réel x est possible et on connaît aussi son cosinus !

    Solution

    \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \Leftrightarrow \sin^2 a = \dfrac{16}{25}

    a \in \left[ 0 \,; \dfrac{\pi}2 \right], donc \sin a \geqslant 0

    donc \sin a = \dfrac45.

  2. a) \cos(-a) b) \sin(-a)
    c) \cos(\pi + a) d) \sin(\pi + a)
    e) \cos(\pi - a) f) \sin(\pi - a)
    g) \cos(a + 2\pi) h) \sin(a + 2\pi)
    Aide

    Utiliser la cercle trigonométrique et les symétries axiales et centrales

    utilisation des symétries

    figure gauche figure droite
    \color{blue}{\cos}(\color{brown}{\pi - \alpha}) = \color{blue}{-\cos}\color{green}{\alpha} \color{blue}{\cos}(\color{brown}{\pi + \alpha}) = \color{blue}{-\cos}\color{green}{\alpha}
    \color{red}{\sin}(\color{brown}{\pi - \alpha}) = \color{red}{\sin}\color{green}{\alpha} \color{red}{\sin}(\color{brown}{\pi + \alpha}) = \color{red}{-\sin}\color{green}{\alpha}

clique ici pour écrire dans l'ordre alphabétique les lettres minuscules des questions dont la réponse est -\dfrac35.

p.226 nº 71

  1. Calculer pour différents réels x la valeur de l'expression A(x) = (\cos x + \sin x)^2 + (\cos x - \sin x)^2.
  2. Émettre une conjecture.
  3. Démontrer la conjecture
Aide

A(x) est constante quelque soit x.

p.228 nº 94

  1. Résoudre sur [-\pi\,; \pi] : \cos x \geqslant \dfrac12.
    Aide

    Tous les réels x associés aux points de l'arc de cercle rouge vérifient \cos x \geqslant \dfrac12.

    À l'aide du schéma déterminer les réels associés aux extrémités de l'arc de cercle rouge.

    Solution

    les réels de [-\pi\,; \pi] ayant pour cosinus \dfrac12 sont -\dfrac{\pi}3 et \dfrac{\pi}3.

    Donc \cos x \geqslant \dfrac12 \Leftrightarrow x \in \left[-\dfrac{\pi}3 \,; \dfrac{\pi}3 \right]

    1. Résoudre sur [-\pi\,; \pi] : \sin x > \dfrac12.
      Aide
      schéma réponse
      Solution

      les réels de [-\pi\,; \pi] ayant pour sinus \dfrac12 sont \dfrac{\pi}6 et \dfrac{5\pi}6.

      Donc \cos x > \dfrac12 \Leftrightarrow x \in \left]\dfrac{\pi}6 \,; \dfrac{5\pi}6 \right[

    2. Résoudre sur [-\pi\,; \pi] : \cos x < -\dfrac{\sqrt2}2.
      Aide
      schéma réponse
    3. Résoudre sur [-\pi\,; \pi] : \sin x \leqslant -\dfrac{\sqrt3}2.
      Aide
      schéma réponse
      Solution

      les réels de [-\pi\,; \pi] ayant pour sinus -\dfrac{\sqrt3}2 sont -\dfrac{2\pi}3 et -\dfrac{\pi}3.

      Donc \sin x < -\dfrac{\sqrt3}2 \Leftrightarrow x \in \left[-\dfrac{2\pi}3\,; -\dfrac{\pi}3 \right]

clique ici pour écrire «vrai» si la réponse à la question 2b est : x \in \left] -\dfrac{3\pi}4 \,; \dfrac{3\pi}4 \right[ ou «faux» dans le cas contraire.

p.230 nº 106

  1. Résoudre dans \intof{-\pi}{\pi} :
    1. \cos x = \ffrac12
    2. \cos x = \ffrac{-\sqrt2}2
    3. \sin x = \ffrac{\sqrt3}2
    4. \sin x = -\ffrac12
    Aide

    Travailler dans le cercle trigonométrique, puis :

    1. tracer la droite d'équation x=\ffrac12
    2. tracer la droite d'équation x=\ffrac{-\sqrt2}2
    3. tracer la droite d'équation y=\ffrac{\sqrt3}2
    4. tracer la droite d'équation y=-\ffrac12
    Solution
    1. \cos x = \ffrac12 \iff x = -\ffrac{\pi}3 \text{ ou } x = \ffrac{\pi}3
    2. \cos x = \ffrac{-\sqrt2}2 \iff x = -\ffrac{3\pi}4 \text{ ou } x = \ffrac{3\pi}4
    3. \sin x = \ffrac{\sqrt3}2 \iff x = \ffrac{\pi}3 \text{ ou } x = \ffrac{2\pi}3
    4. \sin x = -\ffrac12 \iff x = -\ffrac{5\pi}6 \text{ ou } x = -\ffrac{\pi}6$
  2. Résoudre les équations de la question 1 dans \intfo{0}{\pi}, puis dans \setR.
    Solution

    sur \intfo0{2\pi}

    1. \cos x = \ffrac12 \iff x = \ffrac{\pi}3\text{ ou } x = \ffrac{5\pi}3
    2. \cos x = \ffrac{-\sqrt2}2 \iff x = \ffrac{3\pi}4\text{ ou } x = \ffrac{5\pi}4
    3. \sin x = \ffrac{\sqrt3}2 \iff x = \ffrac{\pi}3\text{ ou } x = \ffrac{2\pi}3
    4. \sin x = -\ffrac12 \iff x = \ffrac{7\pi}6\text{ ou } x = \ffrac{11\pi}6

    sur \setR

    1. \cos x = \ffrac12 \iff x = -\ffrac{\pi}3 + 2k\pi \text{ ou } x = \ffrac{\pi}3 + 2k\pi
    2. \cos x = \ffrac{-\sqrt2}2 \iff x = -\ffrac{3\pi}4 + 2k\pi\text{ ou } x = \ffrac{3\pi}4 +2k\pi
    3. \sin x = \ffrac{\sqrt3}2 \iff x = \ffrac{\pi}3 + 2k\pi \text{ ou } x = \ffrac{2\pi}3 + 2k\pi
    4. \sin x = -\ffrac12 \iff x = -\ffrac{5\pi}6 + 2k\pi \text{ ou } x = -\ffrac{\pi}6 + 2k\pi

p.230 nº 107

  1. Résoudre dans \intff{-\pi}{\pi} :

    1. \cos^2 x = 1
    2. 2\sin^2 x - 1 = 0
    Aide
    1. On pose X = \cos x (avec X \in \intff{-1}1) ; l'équation devient X^2 = 1 ; puis connaissant la (les) solutions X, on trouve les valeurs x.
    2. On pose X = \sin x (avec X \in \intff{-1}1) ; l'équation devient 2 X^2 - 1 = 0 ; puis connaissant la (les) solutions X, on trouve les valeurs x.
    Solution
    1. X^2 = 1 \iff X=-1 \text{ ou } X=1

      X = -1 \iff \cos x = -1 \iff x= -\pi \text{ ou } x=\pi

      X = 1 \iff \cos x = 1 \iff x= 0

      donc l'équation admet trois solutions sur \intff{-\pi}{\pi} : \lbrace -\pi\,; 0 \,; \pi \rbrace.

    2. 2 X^2 - 1 = 0 \iff X = -\dfrac{\sqrt2}2 \text{ ou } X = \dfrac{\sqrt2}2

      X = -\dfrac{\sqrt2}2 \iff \sin x = -\dfrac{\sqrt2}2 \iff x = -\dfrac{3\pi}4 \text{ ou } x =\dfrac{3\pi}4

      X = \dfrac{\sqrt2}2 \iff \sin x = \dfrac{\sqrt2}2 \iff x = -\dfrac{\pi}4 \text{ ou } x =\dfrac{\pi}4

      donc l'équation admet quatre solutions sur \intff{-\pi}{\pi} : \lbrace -\dfrac{3\pi}4 \,; -\dfrac{\pi}4 \,; \dfrac{\pi}4\,; \dfrac{3\pi}4 \rbrace.

  2. Résoudre dans \intff{0}{2\pi} :

    2\sin^2x + 5\sin x- 3 = 0

    Aide

    quand on pose X = \sin x, il faut X \in \intff{-1}1.

  3. Résoudre dans \intff{0}{2\pi} :

    -\sin^2x + 2\cos x + 2 = 0

    Aide

    travailler uniquement avec des cosinus à l'aide de la relation \cos^2 x + \sin^2 x = 1

clique ici pour écrire la somme du nombre de solutions trouvées aux questions 2 et 3.

p.227 nº 89

  1. Conjectures
    Aide

    graphe de cos^2 x

    on remarque une symétrie et un motif qui se répète.

    Solution

    parité

    La courbe semble symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, la fonction serait paire

    périodicité

    la fonction semble π-périodique.

  2. Démonstration
    Aide

    fonction paire : pour tout x \in \setR : f(-x) = f(x).

    fonction π-périodique : pour tout x \in \setR : f(x + \pi) = f(x)

    Solution

    parité

    il faut vérifier que pour tout x \in \setR : f(-x) = f(x).

    on sait que pour tout x \in \setR : \cos(-x) = \cos(x), donc (\cos(-x))^2 = (\cos(x))^2 : la fonction f est paire.

     

    périodicité

    il faut vérifier que pour tout x \in \setR : f(x + \pi) = f(x)

    on sait que pour tout x \in \setR : \cos(x + \pi) = -\cos(x) donc (\cos(x + \pi))^2 = (-\cos(x))^2 = (\cos(x))^2 : la fonction f est π-périodique.

clique ici pour écrire «vrai» si les fonctions x \mapsto \sin(x) et x \mapsto (\sin(x))^2 ont la même parité ou «faux» sinon.