Exercices : Fonctions trigonométriques

• p.213 nº 2
• p.213 nº 3
• p.213 nº 4
• p.222 nº 39
• p.223 nº 48
• p.225 nº 68
• p.226 nº 80
• p.226 nº 71
• p.228 nº 94
• p.230 nº 106
• p.230 nº 107
• p.227 nº 89

p.213 nº 2

réels associés à un point

Solution

p.213 nº 3

Montrer que les réels suivant sont associés au même point.

p.213 nº 4

Trouver l'intrus

1. a) $0$ ; b) $2\pi$ ; c) $-5\pi$ ; d) $-6\pi$ ;
   Aide

   Deux réels $\alpha$ et $\beta$ sont au même endroit sur le cercle trigonométrique s'ils différents d'un multiple de $2\pi$.

   Autrement dit : il existe $k \in\setZ$ tel que $\beta = \alpha + k \times 2\pi$.

   On peut s'aider de dessins !

   

   Solution

   l'intrus est $-5\pi$ ; en effet $0$ est à la même position que $2\pi$, car $2\pi = \color{red}{1} \times 2\pi$ ; et que $-6\pi$, car $-6\pi = \color{red}{-3} \times 2\pi$.

2. a) $\dfrac{\pi}2$ ; b) $\dfrac{3\pi}2$ ; c) $-\dfrac{3\pi}2$ ; d) $\dfrac{5\pi}2$ ;
3. a) $\dfrac{3\pi}4$ ; b) $-\dfrac{5\pi}4$ ; c) $\dfrac{7\pi}4$ ; d) $\dfrac{11\pi}4$ ;
4. a) $\dfrac{\pi}3$ ; b) $-\dfrac{4\pi}3$ ; c) $-\dfrac{5\pi}3$ ; d) $\dfrac{7\pi}3$ ;

p.222 nº 39

Donner la valeur associée en radians

1. Valeurs dans $[0\,;2\pi[$.
   Aide

   On peut s'aider de dessins !

   

   sur $\color{red}{[-\pi\,; \pi[}$, l'angle $\alpha$ est associé au réel $\dfrac{3\pi}4$ et l'angle $\beta$ au réel $-\dfrac{\pi}2$

   sur $\color{blue}{[0\,; 2\pi[}$, l'angle $\alpha$ est associé au réel $\dfrac{3\pi}4$ et l'angle $\beta$ au réel $\dfrac{3\pi}2$

   Solution

   • $45^\circ$ est associé à $\dfrac{\pi}4$
   • $150^\circ$ est associé à $\dfrac{5\pi}6$
   • $60^\circ$ est associé à $\dfrac{5\pi}3$
2. Valeurs dans $[-\pi\,;\pi[$.
   Solution

   • $45^\circ$ est associé à $\dfrac{\pi}4$
   • $150^\circ$ est associé à $\dfrac{5\pi}6$
   • $60^\circ$ est associé à $-\dfrac{\pi}3$

p.223 nº 48

p.225 nº 68

Calculer la valeur exacte de $\cos x$

1. Aide

   • En utilisant la formule $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, on calcule la valeur exacte de $\cos^2 x$.

   • En utilisant un cercle trigonométrique, on peut déterminer le signe de $\cos x$

     

     si on ne connaît que la valeur de $\color{red}{\sin x}$, il y a deux réels possibles ; mais si on sait que $\color{green}{x \in \left[ \dfrac{\pi}2\,; \pi \right[}$, alors un seul réel $x$ est possible et on connaît aussi son cosinus !

   Solution

   $\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos^2 x = \dfrac{16}{25}$

   $x \in \left[ 0 \,; \dfrac{\pi}2 \right]$, donc $\cos x \geqslant 0$

   donc $\cos x = \dfrac45$.

2. Solution

   $\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos^2 x = \dfrac{16}{25}$

   $x \in \left[ \dfrac{\pi}2 \,; \pi \right]$, donc $\cos x \leqslant 0$

   donc $\cos x = -\dfrac45$.

3. Solution

   $\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos^2 x = \dfrac{21}{25}$

   $x \in \left[ \dfrac{3\pi}2 \,; 2\pi \right]$, donc $\cos x \geqslant 0$

   donc $\cos x = \dfrac{\sqrt{21}}5$.

p.226 nº 80

1. Soit $a \in \intff0{\dfrac{\pi}2}$ tel que $\cos a = \dfrac35$.

   Montrer que $\sin a = \dfrac45$.

   Aide

   • En utilisant la formule $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, on calcule la valeur exacte de $\cos^2 x$.

   • En utilisant un cercle trigonométrique, on peut déterminer le signe de $\cos x$

     

     si on ne connaît que la valeur de $\color{red}{\sin x}$, il y a deux réels possibles ; mais si on sait que $\color{green}{x \in \left[ \dfrac{\pi}2\,; \pi \right[}$, alors un seul réel $x$ est possible et on connaît aussi son cosinus !

   Solution

   $\cos^2 a + \sin^2 a = 1 \Leftrightarrow \sin^2 a = \dfrac{16}{25}$

   $a \in \left[ 0 \,; \dfrac{\pi}2 \right]$, donc $\sin a \geqslant 0$

   donc $\sin a = \dfrac45$.

2. a) $\cos(-a)$	b) $\sin(-a)$
   c) $\cos(\pi + a)$	d) $\sin(\pi + a)$
   e) $\cos(\pi - a)$	f) $\sin(\pi - a)$
   g) $\cos(a + 2\pi)$	h) $\sin(a + 2\pi)$

   Aide

   Utiliser la cercle trigonométrique et les symétries axiales et centrales

   

   figure gauche	figure droite
   $\color{blue}{\cos}(\color{brown}{\pi - \alpha}) = \color{blue}{-\cos}\color{green}{\alpha}$	$\color{blue}{\cos}(\color{brown}{\pi + \alpha}) = \color{blue}{-\cos}\color{green}{\alpha}$
   $\color{red}{\sin}(\color{brown}{\pi - \alpha}) = \color{red}{\sin}\color{green}{\alpha}$	$\color{red}{\sin}(\color{brown}{\pi + \alpha}) = \color{red}{-\sin}\color{green}{\alpha}$

p.226 nº 71

p.228 nº 94

1. Résoudre sur $[-\pi\,; \pi]$ : $\cos x \geqslant \dfrac12$.
   Aide

   Tous les réels $x$ associés aux points de l'arc de cercle rouge vérifient $\cos x \geqslant \dfrac12$.

   À l'aide du schéma déterminer les réels associés aux extrémités de l'arc de cercle rouge.

   Solution

   les réels de $[-\pi\,; \pi]$ ayant pour cosinus $\dfrac12$ sont $-\dfrac{\pi}3$ et $\dfrac{\pi}3$.

   Donc $\cos x \geqslant \dfrac12 \Leftrightarrow x \in \left[-\dfrac{\pi}3 \,; \dfrac{\pi}3 \right]$

2. 1. Résoudre sur $[-\pi\,; \pi]$ : $\sin x > \dfrac12$.
      Aide

      
      Solution

      les réels de $[-\pi\,; \pi]$ ayant pour sinus $\dfrac12$ sont $\dfrac{\pi}6$ et $\dfrac{5\pi}6$.

      Donc $\cos x > \dfrac12 \Leftrightarrow x \in \left]\dfrac{\pi}6 \,; \dfrac{5\pi}6 \right[$

   2. Résoudre sur $[-\pi\,; \pi]$ : $\cos x < -\dfrac{\sqrt2}2$.
      Aide

      
   3. Résoudre sur $[-\pi\,; \pi]$ : $\sin x \leqslant -\dfrac{\sqrt3}2$.
      Aide

      
      Solution

      les réels de $[-\pi\,; \pi]$ ayant pour sinus $-\dfrac{\sqrt3}2$ sont $-\dfrac{2\pi}3$ et $-\dfrac{\pi}3$.

      Donc $\sin x < -\dfrac{\sqrt3}2 \Leftrightarrow x \in \left[-\dfrac{2\pi}3\,; -\dfrac{\pi}3 \right]$

p.230 nº 106

1. Résoudre dans $\intof{-\pi}{\pi}$ :

   1. $\cos x = \ffrac12$
   2. $\cos x = \ffrac{-\sqrt2}2$
   3. $\sin x = \ffrac{\sqrt3}2$
   4. $\sin x = -\ffrac12$
   Aide

   Travailler dans le cercle trigonométrique, puis :

   1. tracer la droite d'équation $x=\ffrac12$
   2. tracer la droite d'équation $x=\ffrac{-\sqrt2}2$
   3. tracer la droite d'équation $y=\ffrac{\sqrt3}2$
   4. tracer la droite d'équation $y=-\ffrac12$
   Solution

   1. $\cos x = \ffrac12 \iff x = -\ffrac{\pi}3 \text{ ou } x = \ffrac{\pi}3$
   2. $\cos x = \ffrac{-\sqrt2}2 \iff x = -\ffrac{3\pi}4 \text{ ou } x = \ffrac{3\pi}4$
   3. $\sin x = \ffrac{\sqrt3}2 \iff x = \ffrac{\pi}3 \text{ ou } x = \ffrac{2\pi}3$
   4. $\sin x = -\ffrac12 \iff x = -\ffrac{5\pi}6$ \text{ ou } x = -\ffrac{\pi}6$
2. Résoudre les équations de la question 1 dans $\intfo{0}{\pi}$, puis dans $\setR$.
   Solution

   sur $\intfo0{2\pi}$

   1. $\cos x = \ffrac12 \iff x = \ffrac{\pi}3\text{ ou } x = \ffrac{5\pi}3$
   2. $\cos x = \ffrac{-\sqrt2}2 \iff x = \ffrac{3\pi}4\text{ ou } x = \ffrac{5\pi}4$
   3. $\sin x = \ffrac{\sqrt3}2 \iff x = \ffrac{\pi}3\text{ ou } x = \ffrac{2\pi}3$
   4. $\sin x = -\ffrac12 \iff x = \ffrac{7\pi}6\text{ ou } x = \ffrac{11\pi}6$

   sur $\setR$

   1. $\cos x = \ffrac12 \iff x = -\ffrac{\pi}3 + 2k\pi \text{ ou } x = \ffrac{\pi}3 + 2k\pi$
   2. $\cos x = \ffrac{-\sqrt2}2 \iff x = -\ffrac{3\pi}4 + 2k\pi\text{ ou } x = \ffrac{3\pi}4 +2k\pi$
   3. $\sin x = \ffrac{\sqrt3}2 \iff x = \ffrac{\pi}3 + 2k\pi \text{ ou } x = \ffrac{2\pi}3 + 2k\pi$
   4. $\sin x = -\ffrac12 \iff x = -\ffrac{5\pi}6 + 2k\pi \text{ ou } x = -\ffrac{\pi}6 + 2k\pi$

p.230 nº 107

1. Résoudre dans $\intff{-\pi}{\pi}$ :

   1. $\cos^2 x = 1$
   2. $2\sin^2 x - 1 = 0$
   Aide

   1. On pose $X = \cos x$ (avec $X \in \intff{-1}1$) ; l'équation devient $X^2 = 1$ ; puis connaissant la (les) solutions $X$, on trouve les valeurs $x$.
   2. On pose $X = \sin x$ (avec $X \in \intff{-1}1$) ; l'équation devient $2 X^2 - 1 = 0 $ ; puis connaissant la (les) solutions $X$, on trouve les valeurs $x$.
   Solution

   1. $X^2 = 1 \iff X=-1 \text{ ou } X=1$

      $X = -1 \iff \cos x = -1 \iff x= -\pi \text{ ou } x=\pi$

      $X = 1 \iff \cos x = 1 \iff x= 0$

      donc l'équation admet trois solutions sur $\intff{-\pi}{\pi}$ : $\lbrace -\pi\,; 0 \,; \pi \rbrace$.

   2. $2 X^2 - 1 = 0 \iff X = -\dfrac{\sqrt2}2 \text{ ou } X = \dfrac{\sqrt2}2$

      $X = -\dfrac{\sqrt2}2 \iff \sin x = -\dfrac{\sqrt2}2 \iff x = -\dfrac{3\pi}4 \text{ ou } x =\dfrac{3\pi}4$

      $X = \dfrac{\sqrt2}2 \iff \sin x = \dfrac{\sqrt2}2 \iff x = -\dfrac{\pi}4 \text{ ou } x =\dfrac{\pi}4$

      donc l'équation admet quatre solutions sur $\intff{-\pi}{\pi}$ : $\lbrace -\dfrac{3\pi}4 \,; -\dfrac{\pi}4 \,; \dfrac{\pi}4\,; \dfrac{3\pi}4 \rbrace$.

2. Résoudre dans $\intff{0}{2\pi}$ :

   \[ 2\sin^2x + 5\sin x- 3 = 0\]

   Aide

   quand on pose $X = \sin x$, il faut $X \in \intff{-1}1$.

3. Résoudre dans $\intff{0}{2\pi}$ :

   \[ -\sin^2x + 2\cos x + 2 = 0\]

   Aide

   travailler uniquement avec des cosinus à l'aide de la relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

p.227 nº 89

1. Conjectures
   Aide

   

   on remarque une symétrie et un motif qui se répète.

   Solution

   parité

   La courbe semble symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, la fonction serait paire

   périodicité

   la fonction semble π-périodique.

2. Démonstration
   Aide

   fonction paire : pour tout $x \in \setR : f(-x) = f(x)$.

   fonction π-périodique : pour tout $x \in \setR : f(x + \pi) = f(x)$

   Solution

   parité

   il faut vérifier que pour tout $x \in \setR : f(-x) = f(x)$.

   on sait que pour tout $x \in \setR : \cos(-x) = \cos(x)$, donc $(\cos(-x))^2 = (\cos(x))^2$ : la fonction $f$ est paire.

    

   périodicité

   il faut vérifier que pour tout $x \in \setR : f(x + \pi) = f(x)$

   on sait que pour tout $x \in \setR : \cos(x + \pi) = -\cos(x)$ donc $(\cos(x + \pi))^2 = (-\cos(x))^2 = (\cos(x))^2$ : la fonction $f$ est π-périodique.