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- les exercices de ce cours
- 1. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
- 2. Cosinus et sinus d'un nombre réel
- 3. Fonctions sinus et cosinus
Frédéric Léon -- MATHS -- E. Brontë
On peut compter le nombre de \(\dfrac{\pi}{6}\) ou bien remarquer que
\(\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{12\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} = 2\pi + \dfrac{\pi}{6}\) ;
le \(2\pi\) indiquant qu'on vient de parcourir un tour du cercle.
On peut compter le nombre de \(\dfrac{\pi}{4}\) (mais cela commence à faire beaucoup)
ou bien remarquer que
\(\dfrac{21\pi}{4} = \dfrac{20\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4}
= 5\pi + \dfrac{\pi}{4}
= \color{green}{4\pi} + \color{red}{\pi} + \dfrac{\pi}{4}
\) ;
on parcourt donc 2 fois le cercle (\(4\pi\))
puis un demi-cercle (\(\pi\))
puis \(\dfrac{\pi}{4}\)
On peut compter le nombre de \(-\dfrac{\pi}{2}\) (on tourne dans le sens
inverse du sens trigonométrique = celui des aiguilles d'une montre) ;
ou bien remarquer que
\(-\dfrac{19\pi}{2} = -\dfrac{18\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} = -9\pi - \dfrac{\pi}{2}
= \color{green}{-8 \pi} + \color{red}{- pi} -\dfrac{\pi}{2}\) ;
on parcourt donc 4 fois le cercle (\(-8\pi\))
puis un demi-cercle (\(-\pi\))
puis \(-\dfrac{\pi}{2}\)
On peut compter le nombre de \(-\pi\) (on tourne dans le sens
inverse du sens trigonométrique = celui des aiguilles d'une montre) ;
ou bien remarquer que
\(-15\pi = -16\pi + \pi\) ;
on parcourt donc 8 fois le cercle (\(-16\pi\)) puis un demi-cercle (\(\pi\))
dans le sens trigonométrique.
p 213 n° 5: placer des réels sur le cercle
\(A'\) est le symétrique de \(A\), donc pour aller de \(A\) à \(A'\) on parcourt un demi-cercle, soit une longueur de \(\pi\) ;
donc \(A'\) est associé à \(\dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{5\pi}{4}\) : mais ce réel n'appartient pas à \(]-\pi\,; \pi]\) !
on peut associer \(A'\) à \(\dfrac{\pi}{4} \color{red}{-} \pi = -\dfrac{3\pi}{4}\) en tournant dans le sens inverse.
p 222 n° 39: angle en degré et réel associé
dans \([0\,; 2\pi[\)
dans \(]-\pi\,; \pi]\)
p 223 n° 49: signe du sinus / du cosinus
corrigé dans le livre.
p 225 n° 65: existence d'une solution
p 223 n° 68: cosinus connaissant le sinus
\(x\in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\) et \(\sin(x) = \dfrac{3}{5}\)
(\(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2 = 1 \Leftrightarrow (\cos(x))^2 + \dfrac{9}{25} = 1 \Leftrightarrow (\cos(x))^2 = \dfrac{16}{25} \Leftrightarrow \cos(x) = \pm \dfrac{4}{5} \)
ATTENTION : \(x^2 = a \Leftrightarrow x = a \text{ ou } x = -a \) !!
Ici on sait (grâce à notre petit cercle trigonométrique) que \(\cos(x)>0\) ; donc \(\cos(x) = \dfrac{4}{5}\)
\(x\in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]\) et
\(\sin(x) = \dfrac{3}{5}\)
(\(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2 = 1 \Leftrightarrow \cos(x) = \pm \dfrac{4}{5} \)
Ici on sait (grâce à notre petit cercle trigonométrique) que \(\cos(x) < 0\) ; donc \(\cos(x) = -\dfrac{4}{5}\)
\(x\in \left[\dfrac{3\pi}{2}\,;2\pi\right]\) et
\(\sin(x) = -\dfrac{2}{5}\)
(\(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2 = 1 \Leftrightarrow \cos(x) = \pm \dfrac{\sqrt{21}}{5} \)
Ici on sait (grâce à notre petit cercle trigonométrique) que \(\cos(x) > 0\) ; donc \(\cos(x) = \dfrac{\sqrt{21}}{5}\)
p 226 n° 80: angles associés
Utiliser les symétries du cercle : ajouter \(\pi\), c'est parcourir la moitié du cercle ; l'opposé de l'angle, c'est effectuer une symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses
\(a\in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\) et \(\cos(a) = \dfrac{3}{5}\)
(\(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2 = 1 \Leftrightarrow \sin(x) = \pm \dfrac{4}{5} \)
Ici on sait (grâce à notre petit cercle trigonométrique) que \(\sin(a)>0\) ;
donc \(\sin(a) = \dfrac{4}{5}\)
grâce au cercle trigonométrique on lit :
\(\cos(-a) = \cos(a) = \dfrac{3}{5}\)
et \(\sin(-a) = -\sin(a) = -\dfrac{4}{5}\)
grâce au cercle trigonométrique on lit :
\(\cos(\pi + a) = -\cos(a) = -\dfrac{3}{5}\)
et \(\sin(\pi + a) = -\sin(a) = -\dfrac{4}{5}\)
On "avance" de \(\pi\), puis on "recule" de \(a\).
Grâce au cercle trigonométrique on lit :
\(\cos(\pi - a) = -\cos(a) = -\dfrac{3}{5}\)
et \(\sin(\pi - a) = \sin(a) = \dfrac{4}{5}\)
Ajouter \(2\pi\), c'est ajouter un tour de cercle, donc on est au même point sur le cercle : \(\cos(a + 2\pi) = \cos(a) = \dfrac{3}{5}\) et \(\sin(a + 2\pi) = \sin(a) = \dfrac{4}{5}\)
p 215 n° 6: sinus / cosinus
Corrigé dans le livre.
Animation GeoGebra : déplacer le curseur α
p 227 n° 83: identifier courbe
p 227 n° 84: identifier courbe
p 227 n° 89: étudier les propriétés d'une courbe
Conjectures
le motif dans l'encadré vert est le plus petit qui permet de "dessiner la courbe par translation", sa largeur est d'environ 3 (environ \(\pi\) ?), donc une suppose que la fonction est π-périodique ; c'est à dire que \(f(x + \pi) = f(x)\)
la courbe semble symétrique par rapport à l'axe des ordonnées donc une suppose que la fonction est paire ; c'est à dire que \(f(-x) = f(x)\)
Démontrons que la fonction est périodique.
\(f(x + \pi) = (\cos(x + \pi))^2\) or \(\cos(x + \pi) = -\cos(x)\) (penser à dessiner un petit cercle trigonométrique)
donc \(f(x + \pi) = (-\cos(x))^2 = (\cos(x))^2 = f(x)\)
la fonction \(f\) est bien π-périodique.
Démontrons que la fonction est paire.
\(f(-x) = (\cos(-x))^2 \) or \(\cos(-x) = \cos(x)\) (penser à dessiner un petit cercle trigonométrique)
donc \(f(-x) = (\cos(x))^2 = f(x) \)
la fonction \(f\) est bien paire.