Exercices : suites arithmétiques / suites géométriques

• p.147 nº 9
• p.158 nº 59
• p.163 nº 107
• p.163 nº 108
• p.158 nº 60
• p.158 nº 63
• p.164 nº 115
• p.149 nº 11
• p.158 nº 68
• p.164 nº 117
• p.150 nº 14
• p.165 nº 119

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• p.162 nº 95
• p.162 nº 94
• p.165 nº 124

p.147 nº 9

1. Reconnaître une suite arithmétique définie par une formule de récurrence ou une formule explicite.
   Aide

   • définition par récurrence :

     $u_{n+1} = u_n + r$ avec $r$ la raison de la suite.

     formule équivalente : $u_{n+1} -u_n =r$ ; l'écart entre deux termes consécutifs est constant.

     Image mentale de l'escalier : toutes les marches ont une hauteur égale à $r$.

     On calcule les termes de proche en proche à partir de $u_0$.

   • définition explicite :

     $u_n = u_0 + n \times r$

     $r$ est la raison

clique ici pour écrire la valeur de $u_3$ pour la suite définie à la question e).

p.158 nº 59

1. $u_0 = -1$ et $r=4$. Calculer $u_5$ puis $u_{10}$.
   Aide

   par définition $u_n = u_0 + rn$, donc $u_5 = u_0 + r \times 5$
   Solution

   $u_n = -1 + 4n$, donc $u_5 = -1 + 4 \times 5 = 19$ et $u_{10} = -1 + 4\times 10 = 39$
2. $u_{12}=9$ et $r = \dfrac{1}{3}$. Calculer $u_0$ puis $u_{6}$.
   Aide

   par définition $u_n = u_0 + rn$, donc $u_{12} = u_0 + r \times 12 \Leftrightarrow 9 = u_0 + 12 \times \dfrac13 $
   Solution

   • $ 9 = u_0 + 12 \times \dfrac13 \Leftrightarrow 9 = u_0 + 4 \Leftrightarrow u_0 = 5$
   • $ u_6 = u_0 + 6 r = 5 + 6 \times \dfrac13 = 7$
3. $u_{0}=1$ et $u_{10} = 31$. Calculer $r$ puis $u_{2018}$.
   Aide

   par définition $u_n = u_0 + rn$, donc $u_{10} = u_0 + r \times 10$
   Solution

   • $u_{10} = u_0 + r \times 10 \Leftrightarrow 31 = 1 + 10 r \Leftrightarrow r = 3$
   • $ u_{2018} = u_0 + 2018 r = 1 + 2018 \times 3 = 6055$
4. $u_{5}=-12$ et $u_{13} = -44$. Calculer $r$ puis $u_{50}$.
   Aide

   Image mentale de l'escalier

   • déterminer le signe de $r$

   • remarquer que de $u_5$ à $u_{13}$ il y a ... marches ; donc $u_{13} = u_5 + \dots \times r$

     ou bien écrire un système à partir de l'expression explicite de la suite.

   • en déduire la valeur de $r$.
   Solution

   • $u_{13} = u_5 + r \times 8 \Leftrightarrow -44 = -12 + 8 r \Leftrightarrow r = -4$

clique ici pour écrire la valeur $u_{50}$ (suite définie à la question 4).

p.163 nº 107

1. Calculer la raison $r$ de la suite et le terme initial $u_0$.
   Aide

   Utiliser la forme explicite pour exprimer $u_{12}$ et $u_{23}$ en fonction de $n$ et $r$ ; puis résoudre un système de deux équations ou bien image mentale de l'escalier.
   Solution

   $\left\lbrace \begin{array}{ll} u_{12} &= u_0 + 12 r \\ u_{23} &= u_0 + 23 r \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{ll} 52 &= u_0 + 12 r \\ 107 &= u_0 + 23 r \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{ll} 52 &= u_0 + 12 r \\ 107 - 52 &= u_0 - u_0 + 23 r - 12 r \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{ll} 52 &= u_0 + 12 r \\ 55 &= 11 r \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \dots$
2. Calculer $u_{55}$.
   Aide

   Utiliser la forme explicite.
   Solution

   $u_{55} = 267$
3. Sens de variation de la suite.
   Aide

   Image mentale de l'escalier.
   Solution

   $r > 0$ donc la suite est croissante.
4. Limite éventuelle.
   Aide

   La suite est croissante et la raison est constante.
   Solution

   La suite diverge vers $+\infty$.

clique ici pour écrire la valeur de $r$.

p.163 nº 108

1. Á l'aide de la calculatrice, conjecturer la nature de $(u_n)$ et son sens de variations.
   Aide

   les points semblent être alignés sur une droite qui représente une fonction affine croissante.
   Solution

   la suite semble être arithmétique (points alignés sur une droite) et semble être croissante.
2. Développer $(3n+1)(n+1)$.
   Solution

   $(3n+1)(n+1) = 3n^2 + 16 n + 5$
3. Démontrer la conjecture.
   Aide

   Simplifier la fraction.
   Solution

   $ u_n = \dfrac{3n^2 + 16 n+ 5}{n+5} = \dfrac{(3n+1)(n+5)}{n+5} = 3n+1$
   définition d'une suite suite arithmétique...

clique ici pour écrire collée l'une après l'autre, la valeur de $u_0$ puis celle de $r$.

p.158 nº 60

clique ici pour écrire le nombre total de suites croissantes.

p.158 nº 63

1. $S_1 = 1 + 2 + 3 + \dots + 500$
   Aide

   formule du cours
   Solution

   $S_1 = 1 + 2 + 3 + \dots + 500 = 500 \times \dfrac{1 + 500}2 = 125\,250$
2. $S_2 = 2 + 4 + 6 + \dots + 200$
   Aide

   remarquer que $2 = 2\times 1\,; 4 = 2\times 2\,; 6 = 2\times 3 $
   Solution

   $\begin{array}{ll} S_1 &= 2 + 4 + 6 + \dots + 200 \\ &= 2 ( 1 + 2 + 3 + \dots + 100)\\ &= 2 \times 100 \times \dfrac{1 + 100}2\\ &= 10\,100\\ \end{array}$
3. $S_3 = 50 + 51 + 50 + \dots + 100$
   Aide

   $ S_3 = 50 + (50 + 1) + (50 + 2) + \dots $
   Solution

   $\begin{array}{ll} S_3 &= 50 + (50 + 1) + (50 + 2) + \dots + (50 + 50)\\ &= 50 \times 51 + ( 1 + 2 + 3 + \dots + 50)\\ &= 2550 + 50 \times \dfrac{1 + 50}2\\ &= 3\,825\\ \end{array}$
4. $S_4 = 4 + 7 + 10 + \dots + 91$
   Aide

   reconnaître les termes d'une suite arithmétique.

clique ici pour écrire la valeur de $S_4$.

p.164 nº 115

1. 1. premiers termes
      Aide

      les termes sont de la forme $\dfrac5{\dots}$
      Solution

      $u_1 = \dfrac{5 \times 1}{2 \times 1 + 5} = \dfrac57$ ; $u_2 = \dfrac{5}{9}$ ; $u_3 = \dfrac{5}{11}$ ;
   2. nature de la suite
      Aide

      cours : une suite est arithmétique si pour tout entier $n$ : $u_{n+1} - u_n = r$ avec $r$ une constante réelle.
      Solution

      $u_{1} - u_0 = \dfrac{5}{7} - 1 = - \dfrac27$ ; $u_2 - u_1 = \dfrac{5}{9} - \dfrac{5}{7} = -\dfrac{10}{63}$
      la différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante : la suite n'est pas arithmétique.
   3. inverses
      Solution

      $\dfrac1{u_{0}} = \dfrac11 = 1$ ; $\dfrac1{u_{1}} = \dfrac75$ ; $\dfrac1{u_{2}} = \dfrac95$ ; $\dfrac1{u_{3}} = \dfrac{11}5$
      on remarque que la différence entre deux termes consécutifs est constante : elle vaut $\dfrac25$
2. 1. nature de $v_n$
      Aide

      $v_{n+1} - v_n = \dfrac{2u_n + 5}{5u_n} - \dfrac1{u_n}$
      Solution

      quelque soit $n \in \mathbb{N}$ : $\begin{array}{ll} v_{n+1} - v_n &= \dfrac{2u_n + 5}{5u_n} - \dfrac1{u_n}\\ &= \dfrac{2u_n + 5}{5u_n} - \dfrac5{5u_n}\\ &= \dfrac{2u_n + 5 - 5}{5u_n} \\ &= \dfrac{2u_n}{5u_n} = \dfrac25 \\ \end{array}$

      donc pour tout $n$ entier, la différence entre deux termes consécutifs est constante : la suite $(v_n)$ est arithmétique.

   2. expression de $u_n$
      Aide

      définition explicite d'une suite arithmétique
      Solution

      $v_{n+1} - v_n = \dfrac25 $ et $v_0 = 1$ donc $v_n = 1 + \dfrac25 \times n$

      on sait que $v_n = \dfrac1{u_n} \Leftrightarrow u_n = \dfrac1{v_n}$ ; donc $u_n = \dots$

clique ici pour écrire la valeur $c$ sachant que l'expression de $u_n$ est de la forme $\dfrac{a}{b + cn}$

p.149 nº 11

clique ici pour écrire le nombre de suites géométriques.

p.158 nº 68

sens de variation d'une suite géométrique

1. Aide

   définition explicite : $q = 0,2$, donc $\dots < q < \dots$
   Solution

   la raison est comprise entre 0 et 1 et le premier terme est positif : la suite est décroissante.
2. Aide

   définition explicite : $q > 1$, et $v_0 < 0$
   Solution

   la raison est strictement supérieure à 1 et le premier terme est négatif : la suite est décroissante.
3. Aide

   définition par récurrence
   Solution

   la raison vaut $\dfrac15$, donc elle comprise entre 0 et 1 ; le premier terme est négatif : la suite n'est ni croissante, ni décroissante.
4. Aide

   remarquer que $ t_n = \dfrac23 \times (\dots)^n $
   Solution

   $t_n = \dfrac2{3^{n+1}} = \dfrac32 \times \dfrac1{3^n} = \dfrac32 \times \left(\dfrac1{3}\right)^n$ ...
5. Aide

   remarquer que $ k_n = \dfrac1{10} \times (-2)^n $
6. Aide

   définition par récurrence : déterminer $q$ et le signe de $u_0$.

clique ici pour écrire le nombre de suites croissantes.

p.164 nº 117

suite géométrique : raison, premier terme, expression explicite

1. Aide

   • calculer $\dfrac{u_{10}}{u_3}$
   • une puissance de 5 admet 5 comme chiffre des unités
   Solution

   $u_{10} = u_0 \times q^{10} = u_0 \times q^{3} \times q^7 = u_3 \times q^7$
   $\dfrac{u_{10}}{u_3} = \dfrac{312\,500}{4} = 78\,125 = 5^7$
   comme $u_3 = u_0 \times 5^3$ on trouve $u_0 = \dfrac4{125}$
   donc $u_n = \dfrac4{125} \times 5^n$
2. Aide

   • calculer $\dfrac{u_{7}}{u_2}$
   • si la somme des chiffres d'un entier est un multiple de 3, alors cet entier est divible par 3
   Solution

   $u_{7} = u_0 \times q^{7} = u_0 \times q^{2} \times q^5 = u_2 \times q^5$
   $\dfrac{u_{7}}{u_2} = \dfrac9{-2187} = \dfrac1{243} = \left(\dfrac13\right)^5$
   comme $u_2 = u_0 \times \left( \dfrac13\right)^2$ on trouve $u_0 = 5$
   donc $u_n = 5 \times \left(\dfrac13\right)^n$
3. Aide

   si $x^2 = a$ alors $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$
   Solution

   $u_{6} = u_0 \times q^{6} = u_0 \times q^{2} \times q^4 = u_2 \times q^4$
   $\dfrac{u_{6}}{u_2} = 16 = q^2$ or $q>0$ donc $q=4$
   comme $u_2 = u_0 \times q^2$ on trouve $u_0 = \dfrac12$
   donc $u_n = \dfrac12 \times 4^n$
4. Aide

   si $x^2 = a$ alors $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$
   Solution

   $u_{10} = u_0 \times q^{10} = u_0 \times q^{4} \times q^6 = u_4 \times q^6$
   $\dfrac{u_{10}}{u_4} = \dfrac8{512} = \dfrac{2^3}{2^9} = \dfrac1{2^6} = q^6$ or $q<0$ donc $q=-\dfrac12$...

clique ici pour écrire la valeur de $u_0$ à la question 4.

p.150 nº 14

1. calcul des premiers termes
   Aide

   augmenter de $t\,\%$, c'est multiplier par...
   Solution

   • $54\,000 \times \left(1 + \dfrac5{100}\right) = 54\,000 \times 1,05 =56\,700$ ; le musée prévoit $56\,700$ entrées en 2019 ;
   • $56\,700 \times \left(1 + \dfrac5{100}\right) = 56\,700 \times 1,05 =59\,535$ ; le musée prévoit $59\,535$ entrées en 2020.
2. modéliser
   Aide

   chaque année, le nombre d'entrées est multiplié par...
   Solution

   chaque année le nombre d'entrées est multiplié par 1,05 : $u_{n+1} = u_n \times 1,05$
   par définition, la suite $(u_n)$ est géométrique.
3. expression explicite
   Aide

   cours : expression par récurrence / expression explicite
   Solution

   $u_{n+1} = u_n \times 1,05 \text{ et } u_0 = 54\,000 \Leftrightarrow u_n = 54\,000 \times (1,05)^n$
4. extrapolation
   Aide

   $u_n$ représente le nombre d'entrées pour l'année $ 2018 + n$, pour 2025, il faut $n=\dots$
   Solution

   en 2025, $n = 7$, et $u_7 = 54\,000 \times 1,05^7 \approx 75\,983$
   en 2025, le musée peut espérer avoir $75\,983$ visiteurs.
5. somme des termes
   Aide

   $u_{12}$ représente le nombre d'entrées pour l'année 2030, puis calculer $u_0 + u_1 + \dots + u_{12}$
   Solution

   Le nombre de visiteur pour l'année 2030 correspond à $u_{12}$ car 2030 = 2018 + 12.

   il faut donc calculer $u0 + u_1 + \dots + u_{12}$

clique ici pour écrire le nombre total de visiteurs (arrondi à l'unité) accueillis entre 2018 et 2030.

p.165 nº 119

1. Aide

   $32 \xrightarrow{\times q} 64 \xrightarrow{\times q} 128$ et $131\,072 = 32 \times q^{12}$
   Solution

   $ S = u_0 + \dots + u_{12}$ avec $(u_n)$ suite géométrique de premier terme $u_0 = 23$ et de raison $q = 2$ ; en effet $\dfrac{131\,072}{32} = 4\,096 = 2^{12}$
   donc $S = 32 \times \dfrac{1 - 2^{12 +1}}{1-2} = 262\,112$
2. Aide

   $2 \xrightarrow{\times q} -6 \xrightarrow{\times q} 18 \xrightarrow{\times q} -54$ et $118\,098 = 2 \times \dots$
   Solution

   $ S = u_0 + \dots + u_{10}$ avec $(u_n)$ suite géométrique de premier terme $u_0 = 2$ et de raison $q = -3$ ; en effet $\dfrac{118\,098}{2} = 59\,049 = 3^{10}$
   donc $S = 2 \times \dfrac{1 - (-3)^{10 + 1}}{1-(-3)} = 88\,574$
3. Aide

   $3 \xrightarrow{\times q} 5 \xrightarrow{\times q} \dfrac{25}3 \xrightarrow{\times q} \dfrac{125}9$ et $390\,625 = 5^8$
   Solution

   $ S = u_0 + \dots + u_{8}$ avec $(u_n)$ suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = \dfrac35$ ; en effet $\dfrac{390\,625}{2\,187} = \dfrac{5^8}{3^7} = 3 \times \left( \dfrac53 \right)^8$
   donc $S = 2 \times \dfrac{1 - \left(\dfrac53\right)^{8 + 1}}{1- \dfrac53} $
4. Aide

   $2^{n+1} = 2 \times 2^n$ ; la somme est une fonction de $n$. Conjecturer la valeur de $S_4$ quand $n$ tends vers $+\infty$.
   Solution

   $\dfrac{2^{n+1}}{3\times 5^n} = \dfrac{2 \times 2^{n}}{3\times 5^n} = \dfrac23 \times \left( \dfrac25 \right)^n $
   $ S = u_0 + \dots + u_{n}$ avec $(u_n)$ suite géométrique de premier terme $u_0 = \dfrac23$ et de raison $q = \dfrac25$ ;
   donc $S = \dfrac23 \times \dfrac{1 - \left(\dfrac25\right)^{n + 1}}{1- \dfrac25} = \dfrac23 \times \dfrac53 \left( 1 - \left(\dfrac25\right)^{n + 1} \right)$
   et $\lim\limits_{n\to + \infty}S = \dfrac{10}9 $

clique ici pour écrire le dénominateur de l'expression simplifiée de la somme de la question 3.

p.162 nº 95

1. Représentation graphique
   Aide

   
   Solution

   La suite n'est pas monotone : elle semble alternée.
2. $u_{n+2} = 2u_n$ ?
   Aide

   $u_{n+2} = \dfrac{1 - u_{n+1}}{1 + u_{n+1}}$
   Solution

   $u_{n+2} = \dfrac{1 - \color{red}{u_{n+1}}}{1 + \color{blue}{u_{n+1}}} = \dfrac{1 - \color{red}{\dfrac{1 - u_n}{1 + u_n}}} {1 + \color{blue}{\dfrac{1 - u_n}{1 + u_n}}} = \dfrac{ \dfrac{1 + u_n - ( 1 - u_n)}{1 + u_n}} {\dfrac{1 + u_n + (1 - u_n)}{1 + u_n}} = \dfrac{ 2 u_n }2 = u_n $
3. expression de $u_n$ en fonction de $n$.
   Aide

   Distinguer les termes de rang pair et ceux de rang impair
   Solution

   $u_{n+2} = u_n$, donc $u_0 = u_2 = u_4 = \dots = u_{2p}$ ; tous terme d'indice pair sont égaux à $u_0 = 3$.

   $u_{n+2} = u_n$, donc $u_1 = u_3 = u_5 = \dots = u_{2p+1}$ ; tous terme d'indice impair sont égaux à $u_1$.

clique ici pour écrire la valeur de $u_{1000}$.

p.162 nº 94

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p.165 nº 124

1. Représentation graphique
   Aide

   
   Solution

   La suite n'est pas monotone, mais elle semble converger vers 1.
2. Nature de la suite
   Aide

   • une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante ; c'est à dire si $u_{n+1} - u_n = r$ avec $r \in \setR$.
   • une suite est géométrique si le quotient entre deux termes consécutifs (non nuls !) est constante ; c'est à dire $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q$ avec $q \in \setR$.
   Solution

   $u_1 = \dfrac2{1 + u_0} = \dfrac2{1 + 3} = \dfrac12$

   $u_2 = \dfrac2{1 + u_1} = \dfrac2{1 + \frac12} = \dfrac43$

   $u_1 - u_0 = \dfrac12 - 3 = -\dfrac52$ et $u_2 - u_1 = \dfrac43 - \dfrac12 = \dfrac56$ ; or $\dfrac52 \neq \dfrac56$ donc la suite n'est pas arithmétique.

   $\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac16$ et $\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac83$ ; or $\dfrac16 \neq \dfrac83$ donc la suite n'est pas géométrique.

3. $v_n = 1 - \dfrac3{u_n + 2}$
   1. Nature de $v$.
      Aide

      Déterminer la nature signifie qu'il faut montrer que la suite est arithmétique ou géométrique.

      pour démontrer la nature, il faut exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.

      Solution

      $v_0 = 1 - \dfrac3{u_0 + 2} = \dfrac25$

      $v_1 = 1 - \dfrac3{u_1 + 2} = -\dfrac15$

      $v_2 = 1 - \dfrac3{u_2 + 2} = \dfrac1{10}$

      $v_1 = -\dfrac12 v_0$ et $v_2 = -\dfrac12 v_1$ ; la suite $v$ semble être géométrique de raison $-\dfrac12$.

       

      $v_{n+1} = 1 - \dfrac3{u_{n+1} + 2} = 1 - \dfrac3{ \dfrac2{1 + u_n} + 2} = \dots = \dfrac{1 - u_n}{2u_n + 4}$

      $-\dfrac12 v_n = -\dfrac12 \times \left( 1 - \dfrac3{u_n + 2} \right) = \dots = \dfrac{1 - u_n}{2u_n + 4}$

      Attention : entraînez-vous à faire les calculs !!

      donc $v_{n+1} = -\dfrac12 v_n$ : la suite $v$ est une suite géométrique de raison $-\dfrac12$.

   2. Expression de $v$ en fonction de $n$.
      Aide

      Expression explicite de la suite $v$.
      Solution

      $v_0 =\dfrac25$ et la suite est une suite géométrique de raison $-\dfrac12$ ; donc pour tout $n \in \setN : v_n = \dfrac25 \times \left( -\dfrac12 \right)^n$

   3. Expression de $u$ en fonction de $n$.
      Aide

      on sait que $v_n = 1 - \dfrac3{u_n + 2}$.
      Solution

      on admet que pour tout $n \in \setN, v_n \neq 1$

      .

      $\begin{align*} & v_n = 1 - \dfrac3{u_n + 2} \\ \Leftrightarrow & \dfrac3{u_n + 2} = 1 - v_n\\ \Leftrightarrow & u_n + 2 = \dfrac3{1 - v_n}\\ \Leftrightarrow & u_n = \dfrac3{1 - v_n} - 2\\ \end{align*}$

       

      or $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( -\dfrac12 \right)^n = \dots$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ de la forme $\dfrac3{1 - \dots}-2$, d'où $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dots$

clique ici pour écrire la limite de $v$ quand $n$ tends vers $+\infty$.