B.O.

Collège

Comprendre et utiliser la notion de fonction.

• Vocabulaire : variable, fonction, antécédent, image. Modes de représentation (expression symbolique, tableau de valeurs, représentation graphique, programme de calcul). Notations \(f(x)\) et \(x \mapsto f(x)\).

• Fonction linéaire, fonction affine.

• 5 : tableau de valeurs / formule.
• 4 : représentation graphique d’une fonction.
• 3 : image / antécédent / fonction linéaire - affine (coefficient directeur, ordonnée à l’origine).

Utiliser le calcul littéral.

• Notions d’inconnue, d’équation, d’indéterminée, d’identité.

• Distributivité (\(k(a\pm b) = ka \pm b\) ; \((a\pm b) (c \pm d) = \dots\)), factorisation \(a^2 - b^2\), réduction.

• Annulation d’un produit

• Mettre un problème en équation en vue de sa résolution.

• Résoudre algébriquement des équations du premier degré ou s’y ramenant (équations produits) : \(ax = b\); \(a + x = b\) ; \(x^2 = a\).

• 5 : distributivité simple / expressions littérales / notation \(2a\) pour \(2 \times a\)

• 4 : factoriser / distributivité simple / équations du premier degré. /

• 3 : double distributivité / opposé d’une expression / \(a^2 - b^2\) / équations produit et de la forme \(x^2 = a\).

2 nde

Représenter et caractériser les droites du plan.

• Vecteur directeur, équation de droite (cartésienne, réduite), pente, coefficient directeur.

• Déterminer une équation de droite, la pente, un vecteur directeur.

• Points alignés, droites parallèles, sécantes, point d’intersection?

• Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues.

• forme générale d’une équation de droite.

• alignement de trois points, équation d’une droite.

• ensemble de points équidistant d’un point donné et des abscisses, inégalité et régionnement du plan.

Se constituer un répertoire de fonctions de référence.

• Fonctions carré, inverse, racine carrée, cube.

• comparer \(f(a)\) et \(f(b)\), résoudre \(f(x) = k\) ou \(f(x) < k\) avec \(f\) fonction de référence ou affine.

• position relative des courbes de \(x\), \(x^2\), \(x^3\)

Représenter algébriquement et graphiquement les fonctions.

• Fonction à valeurs réelles, courbe représentative, parité.

• Résoudre une équation, une inéquation produit ou quotient, à l’aide d’un tableau de signes.

Traitement de l’image

Présentation du fichier Lena . Expliquer traitement de l’image. Intervalle image.

Équation réduite d’une droite

p. 192

Droite parallèle à l’axe des ordonnées

L’équation d’une droite parallèles à l’axe des ordonnées est \(x = a\) (\(a \in {\mathbb{R}}\))

Droite NON parallèle à l’axe des ordonnées

L’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées est \(y = mx + p\).

\(m\) : coefficient directeur \(m = {\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}} = {\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}}\)

\(p\) : ordonnée à l’origine.

Remarques :

• deux droites qui ont la même équation réduite sont confondues

• deux droites qui ont le même coefficient directeur sont parallèles.

p 204 n°89 : lectures graphiques

p 200 n°36 : reconnaître éq. droite parallèles

p 200 n°34 : coeff. directeur / alignement

p 204 n°87 : éq.cartésienne \(\rightarrow\) éq. réduite.

p 205 n°99 : modélisation affine

p 203 n°74 : déterminer éq. cartésienne réduite / appartenance d’un pt à une dte.

Déterminer l’équation réduite d’une droite

Par lecture graphique

1. Lire les coordonnées de deux points \(A\) et \(B\).

   ici on lit : \(A(-2\,; 1)\) et \(B(3\,; 4)\)

   donc on calcule \(m = {\dfrac{y_B - y_A}{x_B -x_A}} = {\dfrac{4 - 1}{3 - (-2)}} ={\dfrac{3}{5}}\)

2. On lit que \(p \approx {2,2}\); donc il faut finir en calculant…

   Les coordonnées de \(A\) (ou de \(B\)) doivent vérifier l’équation, cela signifie que l’égalité \(y_A = m x_A + p\) doit être vraie.

   Ici : \(1 = {\dfrac{3}{5}} \times (-2) + p\)

   \({\Leftrightarrow}1 = {0,6} \times (-2) + p\) (comme \(\frac{3}{5}\) est décimal, on n’est pas obligé de travailler avec des fractions)

   \({\Leftrightarrow}1 = {-1,2} + p\) \({\Leftrightarrow}1 {\color{red}{+ 1,2}} = -1,2 {\color{red}{+1,2}} + p\) \({\Leftrightarrow}{2,2} = p\)

3. l’équation réduite de la droite \((AB)\) est donc \(y = {\dfrac{3}{5}} x + {2,2}\)

Par le calcul (1)

Pour trouver l’équation de la droite \((AB)\) qui passe par les points \(A(2\,; 4)\) et \(B(5\,; -1)\).

1. On remarque que \(x_A \neq x_B\), donc la droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, et elle admet une équation réduire de la forme : \(y = mx + p\).

   On peut tracer la droite (repère sur une feuille de papier, GeoGebra…) et remarquer que la droite descend donc le coefficient directeur \(m\) est négatif.

2. recherche de \(m\) : \(m = {\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}} = {\dfrac{-1 - 4}{5 - 2}} = -{\dfrac{5}{3}}\)

   L’équation de la droite est donc de la forme \(y = -{\dfrac{5}{3}} x + p\)

   remarque : \(m\) n’est pas un décimal, donc on le laisse sous forme fractionnaire.

3. recherche de \(p\) : Si un point appartient à une droite, ses coordonnées vérifient l’équation.

   C’est à dire l’égalité : \(y_A = m x_A + p\) doit être vraie (on peut travailler avec le point \(B\) si on préfère).

   Ici : \(4 = - {\dfrac{5}{3}} \times 2 + p\)

   Pour trouver \(p\), il faut résoudre l’équation :

   \[\begin{aligned} & 4 = - {\dfrac{5}{3}} \times 2 + p \\ {\Leftrightarrow}& 4 = - {\dfrac{10}{3}} + p \\ {\Leftrightarrow}& 4 {\color{blue}{+ {\dfrac{10}{3}}}} = - {\dfrac{10}{3}} {\color{blue}{+ {\dfrac{10}{3}}}} + p \\ {\Leftrightarrow}& {\dfrac{12}{3}} + {\dfrac{10}{3}} = p\\ {\Leftrightarrow}& p = {\dfrac{22}{3}}\end{aligned}\]

4. conclusion : L’équation de la droite \((AB)\) est \(y = -{\dfrac{5}{3}} x + {\dfrac{22}{3}}\)

   On peut vérifier que

   • pour \(x = x_A = 2\) on trouve \(y = -{\dfrac{5}{3}} \times 2 + {\dfrac{22}{3}} = 4 = y_A\)

   • et pour \(x = x_B = 5\) on trouve \(y = -{\dfrac{5}{3}} \times 5 + {\dfrac{22}{3}} = -1 = y_b\)

Par le calcul (2)

Pour éviter de travailler avec les équations, on peut aussi utiliser une formule... C'est moins "pédagogique" mais cela évite des erreurs (à condition de ne pas se tromper dans la formule !)

Mais comme je veux que vous travailliez aussi les équations, cette formule ne sera dévoilée que dans les corrections... vivement vendredi 9 avril ;-)

Exercice à rendre pour samedi 10/04 midi

Dans un repère, on définit les points \(T(1\,; -2)\), \(A(1\,; 4)\) et \(S(m+4\,; 0)\) (comme d'habitude, remplacer \(m\) par le n° de votre mois de naissance.)

Conseil : placer les points dans un repère (ou un logiciel) afin de vérifier la cohérence des calculs effectués.

1. Déterminer l’équation réduite de la droite \((AT)\).

2. Déterminer l’équation réduite de la droite \((TS)\).

3. Calculer les coordonnées de \(H\) le milieu de \([AT]\) et celles de \(L\) le milieu de \([SA]\). (voir premier cours de septembre ou p. 164)

4. Déterminer l’équation réduite de la droite \((HL)\).

5. Déterminer la position relative des droites \((TS)\) et \((HL)\) (parallèles, sécantes).

08/04/21 : Super l'ENT fonctionnait ! L'occasion de m'entraîner à écrire sur l'ordi. Ce n'est pas encore au point ;-) fichier .pdf

09/04/21 : corrections des exercices sur cette page.

Fonctions de références

p. 222

Fonction carrée

Représentation / symétrie / signe

p 223 n°6 : résoudre inéquations

p 235 n°83 : inéquations - Vrai / Faux

Fonction inverse

Représentation / symétrie / signe

p 223 n°7 : résoudre (in)équations

p 235 n°86 : inéquations - Vrai / Faux

Fonction cube

Représentation / symétrie / signe

p 223 n°8 : résoudre (in)équations

Fonction racine carrée

Représentation / signe

p 223 n°9 : résoudre inéquations

p 240 n°120 : encadrements

26/04/21 : l'ENT ne fonctionne pas : déconnexions toutes les 5 minutes ! BRAVO à ceux qui se sont reconnectés régulièrement pendant 2 heures ! Nous avons difficilement travaillé sur les fonctions de référence (~ 560 Kio)

27/04/21 : l'ENT fonctionne ! fonctions de référence (~ 300 Kio) (suite d'hier)

Signe d’une fonction

p. 252

Tableau de signe

Représentation graphique \(\leftrightarrow\) tableau de signes

Signe d’une fonction affine

p 253 n°7 : graphique \(\rightarrow\) tableau de signes

p 262 n°54 : tableau de signes \(\rightarrow\) graphique

p 253 n°5 : signe d’une fonction affine

30/04/21 : explications + exercices (~ 470 Kio)

03/05/21 : rappels sur les fonctions affines / recherche du signe d'une fonction affine : version .pdf - version LibO

07/05/21 : p 253 n° 5 : version .pdf - version LibO

Résolution algébrique d’équation

p. 254

Inéquations équivalentes

Signe d’un produit

p 261 n°40 : signe d’un produit

p 265 n°86 : lecture graphique / signe d’un produit

p 265 n°81 : lecture graphique / signe d’un produit

10/05/21 : correction

démonstration de la valeur qui annule une fonction affine : version .pdf - version LibO

Signe d’un quotient

p 263 n°62 : inéquations équivalente / signe

p 263 n°71 (question 1) : inéquation

p 263 n°73 : inéquations

18/05/21 : correction des exercices p.263 n° 62 - 71