B.O.
Fonctions logarithme décimal
Définition à partir de \(10^x = b\) (\(b > 0\)), notation, sens de variation.
Propriétés algébriques.
Log. d’un produit (démontrée ou admise) permet de prouver les prop. du quotient.
Nombre de chiffres de l’écriture décimale d’un nombre.
Repère log / semi-log.
Introduction
On sait résoudre les équations de la forme \(x^n = y\) d’inconnue \(x\).
exemple (variations de taux) :
\(\left(1 + \dfrac {t}{100}\right)^{12} = {1,25}\)
\(\Leftrightarrow \left(1 + \dfrac {t}{100}\right) = {1,25}^{\frac{1}{12}}\)
\(\Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow t \approx {1,88}\)
Mais on ne sait résoudre des équations de la forme \(a^x = b\) (avec \(x\) comme inconnue) que dans des cas très particuliers.
exemple :
\(10^x = {1000} \Leftrightarrow x = 3\)
\(10^x = {0,1} \Leftrightarrow x = -1\)
\(10^x = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
\(10^x = 3 \Leftrightarrow ??\)
La fonction Log
La fonction logarithme décimal est définie sur \(]0\,; +\infty[\) par : \(f(x)= \log(x)\)
Propriétés
\(\log(10^x) = x\)
On en déduit que
\(\log(10^0) = 0\), c’est à dire \(\log(1) = 0\)
\(\log(10^1) = 1\), c’est à dire \(\log(10) = 1\)
la fonction \(\log\) est strictement croissante donc : \[a < b \Leftrightarrow \log(a) < \log(b)\]
p 84 n°29 : utiliser la fonction de la calculatrice
p 86 n°55 : utiliser la relation \(\log(10^x) = x\)
p 111 n°57 : log et stats 2 vars
Courbe représentative
Signe de la fonction
28/03/21 : compléments du cours et exercices : version html version MarkDown (pour ceux qui veulent voir ce que je tape à l'écran)
30/03/21 : exercice p 111 n° 57
Propriétés algébriques
On admet que pour tout les réels positifs \(a\) et \(b\) : \[\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)\]
p 89 n°74 : niveau sonore. Expérimenter avec des valeurs avant de faire le calcul littéral.
exemples :
\(\log\left( 10^3 \times 10^6 \right) = \log\left(10^3\right) + \log\left(10^6\right) = 3 + 6 = 9\)
remarque : on aurait pu calculer : \(\log\left( 10^3 \times 10^6 \right) = \log\left(10^9\right) = 9\)
\(\log\left( \dfrac 1{10^4} \right) = \log\left( 10^{-4} \right) = -4\)
On admet les propriétés suivantes :
\(\log\left( a^x \right) = x \log(a)\)et \(\log\left( \dfrac {a}{b} \right) = \log(a) - \log(b)\)
p 86 n°62 : équation
p 85 n°51 : inéquation
03/04/21 : suite du cours sur cette page
(In)équations
\(\log(a) = \log(n) \Leftrightarrow a = b\)
\(\log(a) < \log(b) \Leftrightarrow a < b\)
p 86 n°62 : équation
p 85 n°51 : inéquation
p 94 n°109 : suite géométrique ; inéquation (signe OK)
p 94 n°107 : suite géométrique ; inéquation (signe !)
p 113 n°71 : log et stats 2 vars ; équation ; inéquation
08/04/21 : L'ENT fonctionnait ! Correction des exercices en .pdf
27/04/21 : ENT fonctionnel ! Correction des exercices : p 113 n° 71 et p 113 n° 73