B.O.

Fonctions logarithme décimal

• Définition à partir de $10^x = b$ ($b > 0$), notation, sens de variation.

• Propriétés algébriques.

• Log. d’un produit (démontrée ou admise) permet de prouver les prop. du quotient.

• Nombre de chiffres de l’écriture décimale d’un nombre.

• Repère log / semi-log.

Introduction

On sait résoudre les équations de la forme $x^n = y$ d’inconnue $x$.

exemple (variations de taux) :

$\left(1 + \dfrac {t}{100}\right)^{12} = {1,25}$

$\Leftrightarrow \left(1 + \dfrac {t}{100}\right) = {1,25}^{\frac{1}{12}}$

$\Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow t \approx {1,88}$

Mais on ne sait résoudre des équations de la forme $a^x = b$ (avec $x$ comme inconnue) que dans des cas très particuliers.

exemple :

• $10^x = {1000} \Leftrightarrow x = 3$

• $10^x = {0,1} \Leftrightarrow x = -1$

• $10^x = 1 \Leftrightarrow x = 0$

• $10^x = 3 \Leftrightarrow ??$

La fonction Log

La fonction logarithme décimal est définie sur $]0\,; +\infty[$ par : $f(x)= \log(x)$

Propriétés

1. $\log(10^x) = x$

   On en déduit que

   • $\log(10^0) = 0$, c’est à dire $\log(1) = 0$

   • $\log(10^1) = 1$, c’est à dire $\log(10) = 1$

2. la fonction $\log$ est strictement croissante donc : $$a < b \Leftrightarrow \log(a) < \log(b)$$

p 84 n°29 : utiliser la fonction de la calculatrice

p 86 n°55 : utiliser la relation $\log(10^x) = x$

p 111 n°57 : log et stats 2 vars

Courbe représentative

Signe de la fonction

28/03/21 : compléments du cours et exercices : version html version MarkDown (pour ceux qui veulent voir ce que je tape à l'écran)

30/03/21 : exercice p 111 n° 57

Propriétés algébriques

On admet que pour tout les réels positifs $a$ et $b$ : $$\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)$$

p 89 n°74 : niveau sonore. Expérimenter avec des valeurs avant de faire le calcul littéral.

exemples :

1. $\log\left( 10^3 \times 10^6 \right) = \log\left(10^3\right) + \log\left(10^6\right) = 3 + 6 = 9$

   remarque : on aurait pu calculer : $\log\left( 10^3 \times 10^6 \right) = \log\left(10^9\right) = 9$

2. $\log\left( \dfrac 1{10^4} \right) = \log\left( 10^{-4} \right) = -4$

On admet les propriétés suivantes :

et $\log\left( \dfrac {a}{b} \right) = \log(a) - \log(b)$

p 86 n°62 : équation

p 85 n°51 : inéquation

03/04/21 : suite du cours sur cette page

(In)équations

$\log(a) = \log(n) \Leftrightarrow a = b$

$\log(a) < \log(b) \Leftrightarrow a < b$

p 86 n°62 : équation

p 85 n°51 : inéquation

p 94 n°109 : suite géométrique ; inéquation (signe OK)

p 94 n°107 : suite géométrique ; inéquation (signe !)

p 113 n°71 : log et stats 2 vars ; équation ; inéquation

08/04/21 : L'ENT fonctionnait ! Correction des exercices en .pdf

27/04/21 : ENT fonctionnel ! Correction des exercices : p 113 n° 71 et p 113 n° 73