B.O.
Connaissances
Variable aléatoire réelle : modélisation du résultat numérique d’une expérience aléatoire ; formalisation comme fonction définie sur l’univers et à valeurs réelles.
Loi d’une variable aléatoire.
Espérance, variance, écart type d’une variable aléatoire.
Compétences
Interpréter en situation et utiliser les notations \(\{X = a\}\), \(\{X \leqslant a\}\), \(P(X = a)\), \(P(X \leqslant a)\). Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.
Modéliser une situation à l’aide d’une variable aléatoire.
Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.
Calculer une espérance, une variance, un écart type.
Utiliser la notion d’espérance dans une résolution de problème (mise pour un jeu équitable...).
Algo
Algorithme renvoyant l’espérance, la variance ou l’écart type d’une variable aléatoire.
Fréquence d’apparition des lettres d’un texte donné, en français, en anglais.
Expérimentations
Simuler une variable aléatoire avec Python.
Lire, comprendre et écrire une fonction Python renvoyant la moyenne d’un échantillon de taille \(n\) d’une variable aléatoire.
Étudier sur des exemples la distance entre la moyenne d’un échantillon simulé de taille \(n\) d’une variable aléatoire et l’espérance de cette variable aléatoire.
Simuler, avec Python ou un tableur, \(N\) échantillons de taille \(n\) d’une variable aléatoire, d’espérance \(\mu\) et d’écart type \(\sigma\). Si \(m\) désigne la moyenne d’un échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre \(m\) et \(\mu\) est inférieur ou égal à \(\frac{2\sigma}{n}\).
Notion de variables aléatoires
08/02/21 : introduction. version .html version MarkDown
Variable aléatoire
Définition
Une v.a. est une fonction qui à chaque élément de \(\Omega\) (ensemble des issues d’une expérience aléatoire) associe un réel. (nb. de pile ; nb. d’As ; gain ; distance à un point donné…)
Notations
01/03/21 :
Marche de l’ivrogne :
\(\Omega\) est l’ensemble des chemins possibles : \(\{ (G,G,G,G,G)\,;\) \((G,G,G,G,D)\,;\) \((G,G,G,D,G)\,;\) \((G,G,G,D,D)\,;\) \(\dots\,;\) \((D,D,D,D,G)\,;\) \((D,D,D,D,D)\} \)
la variable aléatoire \(Y\) est la fonction qui à chaque chemin on associe un réel \(y_i\) (qui représente l’ordonnée de l’ivrogne) au bout de cinq pas :
\(\begin{array}{ll} \hline \text{chemin} & y_i \\\hline (G,G,G,G,G) & 5 \\\hline (G,G,G,G,D) & 3 \\\hline (G,G,G,D,G) & 3 \\\hline (G,G,G,D,D) & 1 \\\hline \dots\\\hline (D,D,D,D,G) & 1 \\\hline (D,D,D,D,D) & 0 \\\hline \end{array} \)
Dans cet exemple, la v.a. \(Y\) ne prend que les valeurs \(0\); \(1\); \(2\); \(3\); \(4\) et \(5\).
Loi de probabilité d’une v.a.
Tableau pour représenter la loi
Somme des probas vaut \(1\).
01/03/21 :
Marche de l’ivrogne :
la loi de \(Y\) est donnée par le tableau :
\(\begin{array}{lcccccc} \hline Y =y_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline P(Y = y_i) & \frac{5}{16} & \frac{5}{16} & \frac{5}{32} & \frac{5}{32} & \frac{1}{32} & \frac{1}{32} \\\hline \end{array} \)
p 354 n°30 : reconnaître une loi
p 354 n°32 : tableau de loi + calcul de probas
p 355 n°37 : déterminer loi
01/03/21 : correction des exercices
p 358 n°58 : déterminer loi
p 358 n°61 : déterminer loi + calcul de probas
p 358 n°69 : déterminer loi + calcul de probas
Espérance, variance, écart-type
Définitions
espérance c’est la moyenne
Variance - écart-type
p 355 n°40 : utilisation de la calculatrice
p 357 n°52 : déterminer loi - calculer espérance
05/03/21 : Espérance et variance. version MarkDown - version html
Casio
Ti NumWorksLinéarité de l’espérance
08/03/21 : démonstration version MarkDown version .html
12/03/21 : exercices p 360 n° 69 - 79 version MarkDown version .html
p 356 n°46 : démonstration linéarité de l’espérance
p 356 n°49 : linéarité de l’espérance
Marche de l’ivrogne… avec un mur
![arbre de Bernoulli de profondeur 5](./images/va_ivrogne-mini.jpg)
le programme python à compléter.
Pour compléter votre culture une vidéo de l'excellent Mickaël Launay (MicMaths)