B.O.
Notion de variables aléatoires
- Variable aléatoire
- Loi de probabilité d’une v.a.
Espérance, variance, écart-type
- Définitions
- Linéarité de l’espérance
Marche de l’ivrogne… avec un mur

B.O.

Connaissances

Variable aléatoire réelle : modélisation du résultat numérique d’une expérience aléatoire ; formalisation comme fonction définie sur l’univers et à valeurs réelles.
Loi d’une variable aléatoire.
Espérance, variance, écart type d’une variable aléatoire.

Compétences

Interpréter en situation et utiliser les notations \(\{X = a\}\), \(\{X \leqslant a\}\), \(P(X = a)\), \(P(X \leqslant a)\). Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.
Modéliser une situation à l’aide d’une variable aléatoire.
Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.
Calculer une espérance, une variance, un écart type.
Utiliser la notion d’espérance dans une résolution de problème (mise pour un jeu équitable...).

Algo

Algorithme renvoyant l’espérance, la variance ou l’écart type d’une variable aléatoire.
Fréquence d’apparition des lettres d’un texte donné, en français, en anglais.
Expérimentations
- Simuler une variable aléatoire avec Python.
- Lire, comprendre et écrire une fonction Python renvoyant la moyenne d’un échantillon de taille \(n\) d’une variable aléatoire.
- Étudier sur des exemples la distance entre la moyenne d’un échantillon simulé de taille \(n\) d’une variable aléatoire et l’espérance de cette variable aléatoire.
- Simuler, avec Python ou un tableur, \(N\) échantillons de taille \(n\) d’une variable aléatoire, d’espérance \(\mu\) et d’écart type \(\sigma\). Si \(m\) désigne la moyenne d’un échantillon, calculer la proportion des cas où l’écart entre \(m\) et \(\mu\) est inférieur ou égal à \(\frac{2\sigma}{n}\).

Notion de variables aléatoires

08/02/21 : introduction. version .html version MarkDown

Variable aléatoire

Définition

Une v.a. est une fonction qui à chaque élément de \(\Omega\) (ensemble des issues d’une expérience aléatoire) associe un réel. (nb. de pile ; nb. d’As ; gain ; distance à un point donné…)

Notations

01/03/21 :

Marche de l’ivrogne :

\(\Omega\) est l’ensemble des chemins possibles : \(\{ (G,G,G,G,G)\,;\) \((G,G,G,G,D)\,;\) \((G,G,G,D,G)\,;\) \((G,G,G,D,D)\,;\) \(\dots\,;\) \((D,D,D,D,G)\,;\) \((D,D,D,D,D)\} \)
la variable aléatoire \(Y\) est la fonction qui à chaque chemin on associe un réel \(y_i\) (qui représente l’ordonnée de l’ivrogne) au bout de cinq pas :

\(\begin{array}{ll} \hline \text{chemin} & y_i \\\hline (G,G,G,G,G) & 5 \\\hline (G,G,G,G,D) & 3 \\\hline (G,G,G,D,G) & 3 \\\hline (G,G,G,D,D) & 1 \\\hline \dots\\\hline (D,D,D,D,G) & 1 \\\hline (D,D,D,D,D) & 0 \\\hline \end{array} \)
Dans cet exemple, la v.a. \(Y\) ne prend que les valeurs \(0\); \(1\); \(2\); \(3\); \(4\) et \(5\).

Loi de probabilité d’une v.a.

Tableau pour représenter la loi

Somme des probas vaut \(1\).

01/03/21 :

Marche de l’ivrogne :

la loi de \(Y\) est donnée par le tableau :

\(\begin{array}{lcccccc} \hline Y =y_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline P(Y = y_i) & \frac{5}{16} & \frac{5}{16} & \frac{5}{32} & \frac{5}{32} & \frac{1}{32} & \frac{1}{32} \\\hline \end{array} \)

p 354 n°30 : reconnaître une loi

p 354 n°32 : tableau de loi + calcul de probas

p 355 n°37 : déterminer loi

01/03/21 : correction des exercices

p 358 n°58 : déterminer loi

p 358 n°61 : déterminer loi + calcul de probas

p 358 n°69 : déterminer loi + calcul de probas