B.O.
2nde
Variations, monotonie, minimum, maximum. Tableau de variations.
Fonction affine : taux d’accroissement, variations.
Variations des fonctions carré, inverse, racine carrée, cube.
Déterminer graphiquement les extremums d’une fonction sur un intervalle.
Exploiter un logiciel (géométrie dynamique, calcul formel, calculatrice, Python) pour décrire les variations.
Variations des fonctions carré, inverse, racine carrée.
Approximation numérique d’un extremum (balayage, dichotomie)
Longueur d’une portion de courbe
1ere
Point de vue localTx de variation, pente, tangente (limite des sécantes, équation), nb dérivé (en un point, limite du tx de variation), notation \(f'(a)\).Point de vue global Fct dérivée (carré, cube, inverse, racine carrée, valeur absolue), opérations (somme, produit, inverse, quotient, composé par une fct. affine, puissance).
Interprétation (pente d’une tangente, vitesse instantanée, coût marginal…)
Lecture graphique du nb. dérivé, tracer tangente.
Équation de la tangente.Racine carrée non dérivable en \(0\).Dérivée des fonctions carrée, inverse, d’un produit.
Coefficients directeurs des sécantes.
Sens de variation / signe de la dérivée ; fonctions constantes ; extremum, tangente.
Problème d’optimisation.
Inégalité, position relative de deux courbes.
Méthode de Newton.
Introduction
Des élèves décident d’offrir des chocolats à un sympathique prof de maths. Pour les présenter, ils décident de créer une boîte à partir d’une feuille de format A5 (les dimensions du rectangle initial sont donc \(21 \times 14,85\)) et leur générosité les pousse à obtenir un volume maximal.
Après des essais au hasard pour le choix de la hauteur, les généreux élèves remarquent que le volume de la boîte varie en fonction de la hauteur du bord.
Présentation des volumes obtenus en fonction de la hauteur du bord : un des élèves-t-il obtenu le volume maximum ? Comment en être certain ?
expérimentation, nuage de points, modélisation
Fonctions dérivées (p. 104)
Nombre dérivé
Nous avons déjà rencontré le nombre dérivé en \(a\) : il représente le pente de la tangente à la courbe de la fonction \(f\) au point de coordonnées \((a\,; f(a))\) et on le note \(f'(a)\).
déplacer le point \(A\), observer le signe de la pente de la tangente en fonction des variations de la fonction \(f\).
tester avec d’autres fonctions : dans la barre de saisie taper par exemple
f(x) = x^2 - 4*x + 3.
Idée à retenir : le signe du coefficient directeur (nombre dérivé) permet de connaître les variations de la fonction étudiée.
Fonction dérivée usuelles
Les fonctions usuelles ont une fonction dérivée : il faut apprendre ces formules par cœur !
La fonction dérivée de la fonction \(f\) se note \(f'\).
Le nombre \(f'(x)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe.
Le signe du nombre dérivé permet donc de connaître les variations de la fonction \(f\).
Opérations sur les fonctions dérivées
Toutes les fonctions de cette année peuvent s’obtenir à l’aide des fonctions usuelles (somme, multiplication par un réel, produit, quotient, composition).
Dérivée d’une somme, d’un produit par une constante
Bonne nouvelles ces formules sont assez intuitives !
Par habitudes les fonctions utilisées sont nommées \(u\) et \(v\) et leurs dérivées sont notées \(u'\) et \(v'\).
somme :
Si \(f(x) = u(x) + v(x)\), alors \(f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
produit d’une fonction par une constante :
Si \(f(x) = k \times u(x)\), alors \(f'(x) = k \times u'(x)\)
19/03/21 : recherche du volume maximale de la boîte. Applications des formules du cours. version .html version MarkDown
p 105 n°1 : application des formules. Pour la fonction \(g\), commencer par développer. Pour la fonction \(\ell\), écrire \(\dfrac{3}{8x^4}\) sous la forme \(k \times \dfrac{1}{x^4}\)
p 116 n°33 : application des formules (pour la question 4 commencer par diviser.
p 121 n°71 : équation de tangente (aide : si la tangente est horizontale , c’est à dire parallèle à l’axe des abscisses, alors son coefficient directeur est…)
26/03/21 : correction des exercices. version .html version MarkDown
Dérivée du produit
Attention : si \(f(x) = u(x) \times v(x)\) alors \(f'(x)\) N’EST PAS \(u'(x) \times v'(x)\) !!
Voir dans le livre la formule :-)
La démonstration est laissée de côté pour le moment…
p 107 n°3, question 1 et 2
p 117 n°38, question 1
p 117 n°39, question 1 et 2
p 122 n°77, tangente commune
29/03/21 : formules de dérivation du quotient. En groupe exercices 3 (38 et 39 à finir) et p. 122 n° 77
Dérivée du quotient
Attention : si \(f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}\) alors \(f'(x)\) N’EST PAS \(\dfrac{u'(x)}{v'(x)}\) !!
Voir dans le livre la formule :-)
La démonstration est laissée de côté pour le moment…
p 107 n°3, question 3, 4 et 5
p 117 n°38, question 2, 3 et 4
p 117 n°39, question 3 et 4
Dérivée de la composée avec une fonction affine
Si \(f(x) = g(mx + p)\), alors \(f'(x) = m \times g'(mx + p)\).
p 107 n°3, question 6
p 117 n°40, question 4
Variations et extremums
Signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction
Ce qui est important :
on cherche le signe de la fonction dérivée
on cherche les variations de la fonction étudiée
Remarque : on peut tracer la fonction dérivée afin de trouver son signe par lecture graphique…
représentation de la fonction \(f'\) et représentation de la fonction \(f\)
On lit sur le graphique de gauche que la fonction \(f'\) est positive sur \([{-3.5}\,; {-2.3}] \cup [{.25}\,; {1.25}]\) et négative sur \([{-2.3}\,; {.25}]\).
On lit sur le graphique de droite que la fonction \(f\) est croissante sur \([{-3.5}\,; {-2.3}] \cup [{.25}\,; {1.25}]\) et décroissante sur \([{-2.3}\,; {.25}]\).
p 111 n°9 : lecture d’un tableau de variations
p 117 n°42 : lecture d’un tableau de variations
p 117 n°44 : lecture d’un tableau de variations
p 118 n°46 : lecture d’un tableau de variations
p 118 n°48 : lecture signe / variations
p 123 n°83 : lecture signe / variations
Extremums d’une fonction
La fonction admet un maximum (minimum) local si la dérivée s’annule ET change de signe.
représentation de la fonction \(f\)et représentation de la fonction \(g\)
La fonction \(f\) représentée à gauche admet une tangente de pente nulle, on lit sur le graphique qu’elle admet un maximum local en \(x = {-2.3}\).
La fonction \(g\) représentée à droite admet une tangente de pente nulle, MAIS elle N’admet PAS de maximum local en \(x = {1}\).
p 117 n°43 : tableau de variations -> représentation graphique
p 119 n°52 : aide : dériver, étudier le signe de la dérivée, construire le tableau de variations sur l’intervalle donné ; vérifier à l’aide du graphique obtenu par un logiciel.
Répondre au problème de la boîte posé en introduction
p 124 n°88 : étude fonction degré 3
p 125 n°92 : étude fonction degré 3
p 127 n°97 : aide : (1) tester d’abord sur des exemples (2) multiplier une inégalité par un nombre positif ne change pas l’ordre.
p 129 n°108 : dérivée d’un quotient
p 133 : TP2. Commencer par expérimenter sur des disques de diamètre \({12}\)cm par exemple.
02/04/21 : dernier cours avant confinement : fin de la partie théorique. version .html version MarkDown
09/04/21 : l'ENT ne facilite pas les choses... Tentatives de correction des exercices en écrivant sur ordi (les .pdf font ~ 300 Kio et l'écriture est particulière...) p.111 n° 9 - 42 - 44 p.118 n° 46 - 48 p.123 n° 83 - 92
26/04/21 : une honte, déconnexion toutes les 5 minutes : BRAVO à ceux qui se sont régulièrement reconnectés sur les 3 heures de cours ! p. 119 n° 52 (~300 Kio) p. 127 n° 97 (~300 Kio)